TD5 Determinants
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Page 1 : Algèbre 2Préing 12024 – 2025TD5 – DéterminantsExercice 1. Calculer le déterminant des matrices suivantes.1. A :=µ2552¶.2. B :=µ 71185¶.3. C :=µ1/4218¶.4. D :=µ71410¶.5. E :=10634155621.6. F :=101235413.7. G :=111211456.8. H :=0123123023013012.9. J :=0110100111011110.Exercice 2. Dans R3 muni de sa base canonique B, on considère les vecteurs u1 := 1,1,1, u2 := 1,2,3 etu3 := 1,4,m.1. Calculer detBu1,u2,u3.2. En déduire pour quels valeurs de m la famille u1,u2,u3 est une base de R3.Exercice 3. Soit m R et soit la matrice :Am :=1m21m21111m.1. Calculer det Am sous forme d’un polynôme m factorisé.2. Pour quelles valeurs de m les vecteurs 1,m2,1, m2,1,1 et 1,1,m forment-ils une base de R3 ?3. À l’aide de la formule de la comatrice, calculer l’inverse de Am lorsqu’il existe.Exercice 4. Soient a,b,c,d R et soit :M :=aaaaabbbabccabcd.1. À l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de M, calculer detM. On donnera lerésultat sous la forme d’un produit de formes linéaires en a,b,c,d.2. En déduire pour quelles valeurs de a,b,c,d la matrices M n’est pas inversible.Exercice 5. Soit x R et soient les déterminants :D2x :=¯¯¯¯x11x¯¯¯¯,D3x :=¯¯¯¯¯¯x111x111x¯¯¯¯¯¯,Dnx :=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x111111x¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯.1. Calculer D2x et D3x et donner le résultat sous forme d’un polynôme en x factorisé.2. Faire de même avec Dnx.Indication : effectuer l’opération élémentaire L1 ←Pi Li.1
Page 2 : Exercice 6. Soient A MkK, B Mk,nkK et D MnkK. On considère la la matrice par blocs :M :=µ AB0D¶.1. Montrer que M =µ Ik00D¶×µ AB0Ink¶.2. En déduire que detM = detA×detD.3. Soit C Mnk,kK, on considère à présent la matrice M′ :=µ ABCD¶.a. On suppose que A est inversible. Montrer que :µIk0C A1Ink¶×µ ABCD¶=µ AB0C A1B +D¶.b. En déduire que si A et C commutent, alors detM′ = detAD CB.c. Cette formule est-elle encore vraie si A et C ne commutent pas?Exercice 7. Soit n 2 et α1,...,αn C. On appelle déterminant de Vandermonde le déterminant suivant :Vnα1,...,αn := detM,M :=11···1α1α2···αnα21α22···α2n.........αn11αn12···αn1n.1. Calculer V2α1,α2.2. Montrer que s’il existe i ̸= j tels que αi = αj, alors Vnα1,...,αn = 0.3. On suppose que les αi sont tous distincts.a. Montrer que les lignes de la matrice M sont linéairement indépendantes.Indication : soient λ1,...,λn C tels que λ1L1 + ··· + λnLn = 0Cn où Li est la i-ième ligne de M,étudier le polynôme PX := λnX n1 +···+λ2X +λ1.b. En déduire que k 1,...,n, Vkα1,...,αk ̸= 0.c. Soit f x := Vnα1,...,αn1,x. Montrer que f est une fonction polynomiale de degré n 1, decoefficient dominant Vn1α1,...,αn1.d. Montrer que α1,...,αn1 sont les racines de f , et en déduire que :Vnα1,...,αn = Vn1α1,...,αn1n1Yk=1αn αk.e. En déduire l’expression de V3α1,α2,α3.f. Quelle est l’expression générale de Vnα1,...,αn?2
