TD5 Matrice Correction

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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024Corrige TD5: MatricesExercice 1Dans chacun des cas suivants, les produits AB et BA existent-ils ? Si oui, les calculer1. A =121341, B =102101,2. A =1234, B =1021013. A =0101, B =0011014. A =101121310, B =111012120Correction.1. AB = 53113, BA =1215813412. il n’existe pas AB, BA =0000013. il n’existe pas AB, BA =1258344. AB =011253341, BA =110741341Exercice 2On consid‘ere les matricesA =1234, B =1112Calculer AB, BA, A B2et A2 2AB + B2. Que remarque-t-on?Correction. AB =35711 BA =46710 A B2 =22461

Page 2 : A2 2AB + B2 =3345AB ̸= BA donc on ne peut pas utiliser l’identite remarquable pour les matricesExercice 3SoitA =122212221Calculer AtA. La matrice A est-e-elle inversile? si oui, quel est son inverse?Correction. AtA = A2 =900090009= 9I3 Donc A inversible et A1 = 19A = 19122212221Exercice 4Soit A =12341. Calculer A2 3A + 2I2. En deduire que A est inversible et calculer son inverse.2. Pour n 2, determiner le reste de la division euclidienne de Xn par PX = X2 3X +2.3. Determiner l’expression de An pour tout n N.Correction.1. On verifie sans difficultes que A2 3A + 2I2 = 0. Alors AA 3I2 = 2I2.AlorsA1 = 12 A 3I2 = 2132122. Compte tenu de degP = 2, la division euclidienne de Xn par PX = X2 3X + 2s’ecrit sous la forme :Xn = A2 3X + 2QnX + anX + bnEn remarquant que 1 et 2 sont les racines de P, on en deduit : n N, 1n=an1 + bn2n=an2 + bn .D’ou immediatement, par addition et soustraction de lignes : n N, an=2n 1bn=2 2n .On a ainsi : n N, Xn = X2 3x + 2QnX + 2n 1X + 2 Xn.3. En appliquant la relation precedente a X = A, puis en utilisant le resultat du 1, on obtientque :n N, An = A2 3A + 2I2QnA + 2n 1A + 2 2nI2 = 2n 1A + 2 2nI2Soit aussi :n N, An = 3 2n+12 2n+13 × 2n 33 × 2n 22

Page 3 : Exercice 5Soit A =3100320031. Verifier que l’on peut ecrire A = 3I3 + N ou N est une matrice a determiner.2. Calculer N2, N3 puis Np pour p 3.3. En deduire Ap pour tout p 1.4. Application. Soit xn, yn et zn trois suites reelles telles quex0 = 1, y0 = 2, z0 = 7xn+1 = 3xn + ynyn+1 = 3yn + 2znzn+1 = 3znSoit Xn = xn, yn, znta Trouver une matrice M telle que Xn+1 = MXn.b En deduire que Xn = MnX0.c Calculer Mn.d En deduire les expressions de xn, yn, zn en fonction de n.Correction.1. A =300030003+010002000= 3I3 + N2. N2 =002000000, N3 =000000000donc Np = 0 pour tout p 3.3. Remarquons I3N = NI3 doncAp = 3I3 + Np =nXk=0pk3I3pkNk = 3pI3 + p3p1N + pp 123p2N2=3p0003p0003p+ p3p1010002000+ pp 123p2002000000=3pp.3p13p2p2 p03p2p.3p1003p4.a M = Ab Par recurrencec Mn = An3

Page 4 : d Xn = AnX0 doncxn = 3n + 2n3n1 + 7n2 n3n2yn = 2.3n + 14n3n1zn = 7.3n4

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