TD5 Matrice
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Page 1 : Cycle Pre-INGPremiere AnneeAlgebre II - 2021/2022TD : MatricesExercice 1Dans chacun des cas suivants, les produits AB et BA existent-ils ? Sioui, les calculerA = 121341, B =102101, A = 1234, B =102101,A = 0101, B =001101, A =101121310, B =111012120.Exercice 2On considere les matricesA = 1234, B = 1112.Calculer AB, BA, A B2 et A2 2AB + B2. Que remarque-t-on ?Exercice 3Soit la matriceA =122212221.Calculer tAA. La matrice A est-t-elle inversible ? Si oui quel est soninverse.Exercice 4On considere la matriceA =1234Calculer A2 3A + 2I2. En deduire que A est inversible et calculer soninverse.Pour n 2, determiner le reste de la division euclidienne de Xn parX2 3X + 2. Calculer An.
Page 2 : Exercice 5Soit la matriceA =310032003,1. Verifier que l’on peut ecrire A = 3I3 + N ou N est une matrice adeterminer.2. Calculer N 2, N 3 puis N p pour p 3.3. En deduire Ap pour tout entier p 1.4. Application. Soient xn, yn et zn trois suites reelles telles quex0 = 1, y0 = 2, z0 = 7et verifiant les relations de recurrencesxn+1=3xn + ynyn+1=3yn + 2znzn+1 = 3znOn consider Xn =t xn, yn, zn.a Trouver une matrice M telle que Xn+1 = MXn.b En deduire que Xn = M nX0.c Calculer M nd En deduire les expressions de xn, yn et zn en fonction de n.
