TD5 Matrice
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Page 1 : Cycle Pr´e-ingenieurPremiere Ann´eeAgebre II - 2023/2024TD5: MatricesExercice 1Dans chacun des cas suivants, les produits AB et BA existent-ils ? Si oui, les calculer1. A =121341, B =102101,2. A =1234, B =1021013. A =0101, B =0011014. A =101121310, B =111012120Exercice 2On consid‘ere les matricesA =1234, B =1112Calculer AB, BA, A B2et A2 2AB + B2. Que remarque-t-on?Exercice 3SoitA =122212221Calculer AtA. La matrice A est-e-elle inversile? si oui, quel est son inverse?Exercice 4Soit A =12341. Calculer A2 3A + 2I2. En deduire que A est inversible et calculer son inverse.2. Pour n 2, d´eterminer le reste de la division euclidienne de Xn par PX = X2 3X +2.3. D´eterminer l’expression de An pour tout n N.1
Page 2 : Exercice 5Soit A =3100320031. V´erifier que l’on peut ´ecrire A = 3I3 + N ou N est une matrice a d´eterminer.2. Calculer N2, N3 puis Np pour p 3.3. En d´eduire Ap pour tout p 1.4. Application. Soit xn, yn et zn trois suites r´eelles telles quex0 = 1, y0 = 2, z0 = 7xn+1 = 3xn + ynyn+1 = 3yn + 2znzn+1 = 3znSoit Xn = xn, yn, znta Trouver une matrice M telle que Xn+1 = MXn.b En d´eduire que Xn = MnX0.c Calculer Mn.d En d´eduire les expressions de xn, yn, zn en fonction de n.2
