TD5 Mesures produit
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Page 1 : CY-Tech - Département Mathématiques1ère année Ingénieurs - Génie MathématiqueMesure & intégrationTD5 – Produit de mesuresSoient µ1 et µ2 deux mesures σ-finies. Si f : Ω1 × Ω2 →0,+ est T1 T2-mesurable, alors lesfonctions ϕ et ψ définies respectivement sur Ω1 et Ω2 parϕ : x1 7→ZΩ2f x1,x2dµ2 x2 et ψ : x2 7→ZΩ1f x1,x2dµ1 x1sont mesurables. etZΩ1×Ω2f dµ=ZΩ1µZΩ2f x1,x2dµ2 x2¶dµ1 x1=ZΩ2µZΩ1f x1,x2dµ1 x1¶dµ2 x2.Théorème de Fubini-Tonelli – Rappel 1.EXERCICE 1 Soit R = 1,2×0,2 et f : R →R définie par f¡x, y¢= y exp¡xy¢.1. Justifier que le calcul de I =ZRf¡x, y¢dxd y est possible.2. Montrer que I = 12e4 e2 + 12.EXERCICE 2 Sur R2 muni de la tribu borélienne et de la mesure µ produit des mesures de Lebesgue, onconsidère la fonction définie pour tout x, y R2+ par f x, y =11+ y1+ x2y.1. Peut-on appliquer le théorème de Fubini-Tonelli pour évaluer I =ZR2+f x, ydxd y? justifier.2. Montrer queZR+f x, ydx = π21py¡1+ y¢.3. Montrer que I = π22 .4. Montrer queZR+f x, yd y = 2lnxx2 1 et en déduireZ +0lnxx2 1dx.Soient µ1 et µ2 deux mesures σ-finies. Si f : Ω1 ×Ω2 →R est µ-intégrable, alors1. Pour presque tout x1 Ω1, la fonction x2 7→f x1,x2 est intégrable sur Ω2 et la fonction ϕdéfinie presque partout sur Ω1 parϕ : x1 7→ZΩ2f x1,x2dµ2 x2Théorème de Fubini – Rappel 2.
Page 2 : Mesure et intégrationest µ1-intégrable sur Ω1.2. Pour presque tout x2 Ω2, la fonction x1 7→f x1,x2 est intégrable sur Ω1 et la fonction ψdéfinie presque partout sur Ω2 parψ : x2 7→ZΩ1f x1,x2dµ1 x1est µ2-intégrable sur Ω2.3.ZΩ1×Ω2f dµ=ZΩ1µZΩ2f x1,x2dµ2 x2¶dµ1 x1=ZΩ2µZΩ1f x1,x2dµ1 x1¶dµ2 x2.EXERCICE 3 On considère sur¡0,1,B0,1¢la mesure de Lebesgue λ et la mesure de dénombrementµd. Soit D un sous-ensemble de 0,12 défini parD =nx,x;x 0,12o.1. Vérifier que la fonction 1D est borélienne.2. CalculerZ 10µZ 101Dx, ydx¶dµdy etZ 10µZ 101Dx, ydµdy¶dx.Ce résultat est-il compatible avec le théorème de Fubini ?EXERCICE 4 Calculer les intégralesI=Z 10ÃZ 10x2 y2¡x2 + y2¢2 dx!d y,J=Z 10ÃZ 10x2 y2¡x2 + y2¢2 d y!dx,K=Z0,12x2 y2¡x2 + y2¢2 dxd y.Expliquer ces résultats.EXERCICE 5 On considère la fonction f définie sur 1,12 parf x, y =xy¡x2 + y2¢2si x, y , 0,00sinon.1. Vérifier que f est borélienne.2. Calculer I =Z 11µZ 11f x, ydx¶d y et J =Z 11µZ 11f x, yd y¶dx.ING1 GM – TD52/3
Page 3 : Mesure et intégration3. f est-elle intégrable sur 1,12?EXERCICE 6 Sur R2 muni de la tribu borélienne et de la mesure λλ produit des mesures de Lebesgue.On considère la fonction définie pour tout x, y R2 parf x, y = ey sin¡2xy¢.Soit U = 0;1×0,+.1. Montrer que f est intégrable pour la mesure produit de Lebesgue sur U.2. Peut-on appliquer le théorème de Fubini pour évaluer I =ZUf x, ydxd y? Justifier.3. Montrer queZUf x, ydλλ = ln54.4. En déduire la valeur de l’intégraleZ +01y sin2yeyd y.ING1 GM – TD53/3
