TD5 Variables Aleatoires
Télécharger le TD5 Variables Aleatoires en pdf
Page 1 : 2024/2025Semestre 2 – PréIng 2Intégration et ProbabilitésTD5 - Variables aléatoiresVariables aléatoires discrètesExercice 11. Soit X une variable aléatoire réelle discrète prenant les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 avec lesprobabilités respectives 0, 1; 0, 2; 0, 1; 0, 3; 0, 1 et 0, 2. Calculer l’espérance et la variance de X.2. Soit Y une variable aléatoire réelle discrète prenant les valeurs 3, 4, 5 et 6.Déterminer la loi deprobabilité de Y sachant que PY 5 =13, PY 5 =12 et PY = 3 = PY = 4. Calculerl’espérance et la variance de Y .Exercice 2On considère un dé cubique truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir la face numéro k soit propor-tionnelle à k. On suppose que les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note la variable aléatoire X associéeà la valeur d’un lancer.1. Déterminer la loi de X.2. Calculer EX.3. On pose Y = 1X . Déterminer la loi de Y et EY .Exercice 3Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires.On tire les boules une à une sans lesremettre jusqu’à ce qu’il ne reste que des boules d’une seule couleur dans l’urne. Soit X le nombre de tiragesnécessaires. Quelle est la loi de X?Exercice 4On considère l’expérience suivante. Pour un entier n 0 fixé, on tire simultanément n dés équilibrés. Onpose la variable Xn qui associe une victoire s’il y a au moins un 6, et une défaite sinon.1. Quelle est la loi de Xn? Quel est son paramètre?2. Quel est le nombre minimum n0 de dés nécessaires pour qu’en moyenne, on ait 1 chance sur 2 degagner? Donner la variance de Xn0.Exercice 5Soit a un réel et X une variable aléatoire réelle à valeurs dans N telle que pour tout k N, PX = k =a2kk!.1. Déterminer a.2. X admet-elle une espérance? Si oui, la calculer.3. X admet-elle une variance? Si oui, la calculer.Exercice 6Soit une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ.On pose la variable aléatoireY :=1X + 1X + 2. Calculer l’espérance de Y .Exercice 7On demande à 10 personnes si elles aiment le chocolat. La probabilité qu’un individu réponde oui est dep = 0, 9. On s’intéresse au nombre total de personnes aimant le chocolat dans notre échantillon.1
Page 2 : 1. Modéliser la situation par un univers Ωet une variable aléatoire X définie sur cet univers pour répondreau problème.2. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire?3. En moyenne, combien de personnes devraient répondre qu’elles aiment le chocolat? On redémontrerala formule utilisée.4. Quelle est la variance de X? On redémontrera la formule utilisée.5. Quelle est la probabilité pour qu’au moins 9 personnes disent qu’elles aiment le chocolat?Exercice 8Un pêcheur pêche des saumons. Il n’a le droit de garder un saumon que s’il mesure au moins 50cm. Dansl’étang dans lequel il pêche, un dixième des saumons mesure plus de 50cm. On souhaite savoir combien defois le pêcheur doit lancer son hameçon avant de pêcher un saumon qu’il peut garder.1. Définir la variable aléatoire modélisant le problème. Quelle est sa loi?2. Quelle est la probabilité que le pêcheur ait un saumon de bonne taille dès le premier lancer?3. Quelle est la probabilité pour que le premier saumon de taille suffisante soit pêché au deuxième lancer?Et au troisième?4. Combien de fois en moyenne le pêcheur doit-il lancer son hameçon pour trouver le bon poisson?5. Quelle est la probabilité que le pêcheur ait besoin d’au moins 13 lancers?6. Durant les 12 premiers lancers, le pêcheur n’a obtenu que des poissons de petite taille. Combien detemps, en moyenne, doit-il de nouveau lancer son hameçon pour obtenir un saumon de bonne taille?Exercice 9Soit Ω, P un espace de probabilité fini, β 0; 1 et X : Ω→2, · · · , 3 une variable aléatoire. Soit letableau suivantk210123PXk0, 10, 150, 20, 250, 1β1. Déterminer β pour que PX soit la loi de probabilité de X.2. Calculer EX et VarX.3. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Z = X2.4. Calculer EZ et VarZ.5. En déduire E2X2 + 1 et Var2X2 + 1.Couple de Variables AléatoiresExercice 10On lance deux dés tétraédriques à quatre faces équilibrés avec des valeurs de 1 à 4. On note X la valeur dupremier dé et Y la valeur du second dé. De plus, on note Z1 la minimum des deux valeurs et Z2 le maximumdes deux valeurs.1. Quelles sont les lois de X et de Y ? Sont-elles indépendantes? Dresser le tableau représentant la loi ducouple X, Y .2. Donner les lois de Z1 et de Z2.3. Dresser le tableau représentant la loi du couple Z1, Z2. Les variables Z1 et Z2 sont-elles indépen-dantes?2
Page 3 : Exercice 11On place dans une urne 48 boules de couleurs différentes et de valeurs différentes avec la répartition suivante:• 3 boules rouges d’une valeur de 0 point.• 13 boules rouges d’une valeur de 2 points.• 7 boules jaunes d’une valeur de 1 point.• 5 boules jaunes d’une valeur de 2 points.• 4 boules jaunes d’une valeur de 3 points.• 3 boules bleues d’une valeur de 0 point.• 11 boules bleues d’une valeur de 1 point.• 2 boules bleues d’une valeur de 3 point.On note X la variable aléatoire représentant la valeur de la boule tirée, et Y la variable aléatoire représentantla couleur de la boule tirée.1. Quelles sont les valeurs prises par X? Et par Y ?2. Dresser le tableau représentant la loi du couple X, Y .3. Déterminer les lois marginales de X et de Y .4. Comment s’appelle la loi suivie par Y ?5. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Quel est son paramètre?6. Les deux variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?7. On tire une boule : elle est bleue. Quelle est la probabilité pour que la valeur soit 0?8. BONUS : Sachant qu’on a tiré une boule bleue, déterminer l’espérance de la valeur de la boule.Exercice 12On lance un dé équilibré à quatre faces. Si le résultat du lancer est k 1, 2, 3, 4, on met dans une urne kboules rouges et 10 k boules noires. On tire ensuite une boule dans cette urne. On note par X la variablealéatoire représentant la valeur du dé et Y la couleur de la boule.1. Quelles sont les valeurs prises par X? Et par Y ? Et par le couple X, Y ?2. Déterminer la loi de X. Quel est le nom de cette loi?3. Soit k 1, 2, 3, 4. Déterminer les probabilités conditionnellesPY = RX = ketPY = NX = k.4. Déterminer pour tout k 1, 2, 3, 4 les valeurs de PX = k Y = R et PX = k Y = N.5. Dresser le tableau du couple de loi X, Y .6. En déduire les lois marginales de X et de Y .7. On suppose que l’on a tiré une boule noire. Quelle est la probabilité d’avoir tiré un 1?Exercice 13Partie I Dans R2, on note les points A = 2, 2, B = 2, 2, C = 2, 2 et D = 2, 2. Soit C le carréplein de sommets A, B, C et D. On note l’ensemble des points à coordonnées entières dans C y comprissur le bord du carré parE =x, y Z2; x, y C.1. Faire une représentation graphique de C et de E. Quel est le cardinal de E?2. On définit la probabilité P sur Z2 qui vaut une constante λ si x, y E et 0 sinon. Que vaut λ?3
Page 4 : 3. Soit X respectivement Y la variable aléatoire représentant l’abscisse resp. l’ordonnée d’un pointx, y Z2. Quelle est la loi du couple X, Y ?4. Quelles sont les valeurs prises par X? et par Y ? Dresser le tableau donnant la loi du couple X, Y .5. Donner les lois marginales de X et de Y .6. Calculer l’espérance de X puis celle de Y . Déterminer ensuite la covariance CovX, Y .7. Les deux variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Commenter avec la question précédente.Partie II Dans R2, on note les points ˜A = 2, 0, ˜B = 0, 2, ˜C = 2, 0 et ˜D = 0, 2. Soit ˜C le carréplein de sommets ˜A, ˜B, ˜C et ˜D. On note l’ensemble des points à coordonnées entières dans ˜C y comprissur le bord du carré par˜E =nx, y Z2; x, y ˜Co.1. Faire une représentation graphique de ˜C et de ˜E. Quel est le cardinal de ˜E?2. On définit la probabilité ˜P sur Z2 qui vaut une constante ˜λ si x, y ˜E et 0 sinon. Que vaut ˜λ?3. Soit ˜X respectivement ˜Y la variable aléatoire représentant l’abscisse resp. l’ordonnée d’un pointx, y. Quelle est la loi du couple ˜X, ˜Y ?4. Quelles sont les valeurs prises par ˜X? et par ˜Y ? Dresser le tableau donnant la loi du couple ˜X, ˜Y .5. Donner les lois marginales de ˜X et de ˜Y à l’aide du tableau. Retrouver par le calcul les probabilitésdes événements ˜X = 2 et ˜Y = 0.6. Calculer l’espérance de ˜X puis celle de ˜Y . Déterminer ensuite la covariance Cov ˜X, ˜Y .7. Les deux variables aléatoires ˜X et ˜Y sont-elles indépendantes? Commenter avec la question précédente.Variables aléatoires continuesExercice 14Un enseignant commande en ligne un nouveau lot de feutres. Le livreur lui annonce qu’il livrera son colis le29 février 2028, mais son horaire de passage est aléatoire entre 8h et 18h.1. Quelle est la loi suivie par l’horaire d’arrivée du livreur? On nommera cette variable aléatoire X.2. Déterminer la fonction de densité, la fonction de répartition, l’espérance et la variance de X.3. Quelle est la probabilité que le colis soit livré au moment de la pause déjeuner, donc entre 12h et 14h?4. Quelle est la probabilité que le colis soit livré à 17h exactement?Exercice 15On note X la durée de vie d’une ampoule à incandescence et Y la durée de vie d’une ampoule à filamentLED. Les durées de vie sont des variables aléatoires suivant une loi exponentielle, et en moyenne, on observeque la durée de vie d’une ampoule à incandescence est de 1500h, alors que la durée de vie d’une ampoule àfilament LED est de 17500h.1. Quels sont les paramètres de chacune des lois? Déterminer les variances VarX1 et VarX2.2. Quelle est la probabilité pour que la durée de vie d’une ampoule à filament LED soit supérieure à15000h? Et à 20000h?3. Sachant qu’une ampoule à incandescence a été allumée 1000h, calculer la probabilité que la durée devie de l’ampoule soit supérieure à 5000h.4. On considère deux ampoules, une de chaque type. Quelle est la probabilité que la durée de vie del’ampoule à incandescence soit supérieure à celle de l’ampoule à filament LED?Exercice 16Soit une variable aléatoire X suivant une loi normale centrée réduite. On pose Z = m + σX avec m R etσ 0. Déterminer l’espérance et la variance de Z.4
