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Page 1 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES1E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦5Suites et Séries de Fonctionsle 03 décembre 2019Ex.1Etudier la convergence simple, absolue, normale, et la convergenceuniforme des séries de fonctionsP fn :afn : R+ →R,x7→fnx = 1n2 xn + 1 xn,n 1bfn : R →R,x7→fnx = x exp nx2,n 0cfn : R+ →R,x7→fnx = nx2 exp xn,n 0dfn : R →R,x7→fnx = 1nx ,n 1efn : R →R,x7→fnx = 1nnx, ,n 1Ex.2Soit α un réel tel que α 2.On dénit la série de fonctions P fn par :fn : R+ →R,x7→fnx = x2α exp nx,n 11 Montrer que P fn converge simplement sur R+.2 Montrer que P fn converge uniformément sur R+, si α 13 Que peut-on dire si α = 1Ex.3On dénit la série de fonctions P fn sur R par :fn : R →R,x7→fnx =1nx1 + x2n ,n 01 Etudier la convergence simple , absolue, normale et uniforme de la sérieP fn.2 Calculer la somme Sx =+Xn=0fnx.
Page 2 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES2Ex.4a Etudier la convergence simple , absolue, normale et uniforme de la sérieP fn avec :fn : R+ →R,x7→fnx =xn1 + n2x,n 1.b On note Sx =+Xn=1fnx. S est-elle dérivable en 0 à droite ?Ex.5a Etudier la convergence simple , absolue, normale et uniforme de la sérieP fn avec :fn : 1, + →R,x7→fnx =1nnx + 1n ,n 0 .b On note Sx =+Xn=0fnx. Donner le développement asymptotique deSx à la précision 1x, lorsque x →+. On utilisera :Xn=11nn= ln2Ex.6a Etudier la convergence simple , absolue, normale et uniforme de la sérieP fn avec :fn : R+→R,x7→fnx = ln1 + nxnxn,n 1 .b On note Sx =+Xn=1fnx. Montrer que S est continue sur a, +, aveca 1.c Montrer que :Sx →+quandx →1+
