TD6 Denombrement 2
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Page 1 : Departement de MathematiquesPreing 2 - Integration et Probabilite2021 - 2022Denombrement et Probabilites 2.Exercice 1. Pour ce rendre au lycee, un eleve a le choix entre quatre itineraires : A, B, C et D. Laposibilite qu’il a de choisir A resp. B et C estPA = 13resp. PB = 14, PC = 112.Soit R l’evenement ”arriver en retard”. La probabilite d’arriver en retard en empruntant A resp. Bet C estPAR = 120resp. PBR = 110, PCR = 15.En empruntant D il n’est jamais en retard.1. Quelle est la probabilite que l’eleve choisisse l’itineraire D ?2. L’eleve arrive en retard. Quelle est la probabilite qu’il ait emprunte l’itineraire C ?Exercice 2. Un lot de 100 des contient 25 des pipes tels que la probabilite d’appatition de 6 soit 0.5.On prend un de au hasard et on le jette, on obtient 6. Quelle est la probabilite que le de soit pipe ?Exercice 3. Un sac contient trois jetons. L’un de ces jetons a deux faces noires, un autre a deuxfaces blanches le troisieme a une face noire et une face blanche. On tire au hasard un jeton du sac et onle pose sur la table. La face visible est noire. Quelle est la probabilite que le jeton tire ait deux faces noires ?Exercice 4.1. Soit X une variable aleatoire reelle discrete prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6 avec les probabilitesrespectives 0.1, 0.2, 0.1, 0.3, 0.1, 0.2. Calculer l’espereance et la variance de X.2. Soit Y une variable aleatoire reelle discrete prenant les valeurs 3, 4, 5, 6. Determiner la loi de pro-babilite de Y sachant quePY 5 = 13;PY 5 = 12;PY = 3 = PY = 4.Calculer l’espereance et la variance de Y .Exercice 5. On considere un de cubique truque de telle sorte que la probabilite d’obtenir la face numerok soit proportionnelle a k. On suppose que les faces sont numerotees de 1 a 6.1. Determiner la loi de X2. Calculer EX.3. On pose Y = 1X . Determiner la loi de Y et EY .Exercice 6. Soient a un reel et X une variable aleatoire reelle a valeurs dans N, telle que pour toutk N, PX = k =a2kk!.1. Determiner a.1
Page 2 : 2. X admet-elle une esperance ? Si oui, la calculer.3. X admet-elle une variance ? Si oui, la calculer.Exercice 7. Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. On tire les boules une aune sans les remetre jusqu’a ce qu’il ne reste que des boules d’une seule couleur dans l’urne. Soit X lenombre de tirages necessaires. Quelle est la loi de X ?Exercice 8 On dispose de n urnes numerotees de 1 a n, l’urne numerotee k comprenant k boulesnumerotees de 1 a k. On choisit d’abord une urne, puis une boule dans cette urne, et on note Y lavariable aleatoire du numero obtenu. Quelle est la loi de Y ? Son esperance ?Exercice 9 Dans une population 40 des individus ont les yeux bruns, 25 des individus ont lescheveux blonds, 15 des individus ont les yeux bruns et les cheveux blonds.On choisit un individu au hasard. Calculez :1. La probabilite de l’evenement : si un individu a les yeux bruns d’avoir les cheveux blonds.2. La probabilite de l’evenement : si un individu a les cheveux blonds d’avoir les yeux bruns.3. La probabilite de l’evenement : si un individu a les cheveux blonds, de ne pas avoir les yeux bruns.Exercice 10 Un professeur oublie frequemment ses cles. Pour tout n, on note : En l’evenementEn=le jour n, le professeur oublie ses cles.Notons aussiPn = PEnetQn = PEn.On suppose que : P1 = a est donne et que si le jour n il oublie ses cles, le jour suivant il les oublie avecla probabilite110 ; si le jour n il n’oublie pas ses cles, le jour suivant il les oublie avec la probabilite410.Montrer quePn+1 = 110Pn + 410Qn.En deduire une relation entre Pn+1 et Pn. Quelle est la probabilite de l’evenement : le jour n, le pro-fesseur oublie ses cles ?.Exercice 11 Une information est transmise a l’interieur d’une population. Avec une probabilite p,l’information re¸cue d’une personne est transmise telle quelle a la personne suivante. Avec une probabilite1 p, l’information re¸cue d’une personne est transmise de fa¸con contraire a la personne suivante. Onnote pn la probabilite que l’information apres n transmissions soit correcte.1. Donner une relation de recurrence entre pn+1 et pn.2. En deduire la valeur de pn en fonction de p et de n.3. En deduire la valeur de limn→+pn. Qu’en pensez-vous ?2
