TD6 Inverser une matrice Correction

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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024Corrige TD6: Calcul de l’inverse d’une matriceExercice 1Soit A =0111011101. Calculer A2 et verifier que A2 = A + 2I3.2. En deduire que A est inversible et donner son inverse en fonction de A.Correction.1.011101110A2 =011101110211121112= A + 2I32. Nous avons donc A2 A = 2I3, c’est-a-dire A AI32= I3. Ce qui montrer que A estinversible et que son inverse est A1 = 12 A I3 = 12111111111.Exercice 2Demontrer que pour toute matrice A =abcdMnK :A2 a + dA + ad bcI2 = 0En deduire une condition necessaire et suffisante pour que A soit inversible et exprimer A1dans ce cas.Correction. La relation A2 a + dA + ad bcI2 = 0 est facilement verifiable une fois calcule:A2 =a2 + bcab + bdac + cdbc + d2On a donc : A a + dI2 A = ad bcI2.Supposons queabcd = ad bc ̸= 0. On a alors :A1ad bc dbca=1ad bc dbcaA = I21

Page 2 : Donc A est inversible et :A1 =1ad bc dbcaReciproquement, si ad bc = 0, alors AA a + dI2 = 0 et donc la matrice A n’est pasinversible.Conclusion : A est inversible ⇔abcd = ad bc ̸= 0, l’inverse eventuel etant celui formuleplus haut.Exercice 3Soit A =102011120. Calculer A3 A. En deduire l’inversibilite de A et l’expression de soninverse.Correction. On verifie que A2 =342111120et A3 =502031124. On en deduit A3 A =4I3. Par consequent :A14A2 I3=14A2 I3A = I3Il en resulte que A est inversible et que :A1 = 14A2 I3 = 14242121121Exercice 4On considere la matrice A =212533102. Calculer A + I33. En deduire l’inversibilite deA et l’expression de son inverse.Correction. On verifie sans difficulte que A + I33 = 0. On a donc, en utilisant la formule dubinˆome :A3 + 3A2I3 + 3AI23 + I33 = 0C’est-a-dire aussi : A3 + 3A2 + 3A + I3 = 0. On en deduit :AA2 3A 3I3 = A2 3A 3I3A = I3Par consequent, A est inversible et :A1 = A2 3a 3I3 =6237243112

Page 3 : Exercice 5Calculer l’inverse des matrices suivantes, s’il existe, par la methode de Gauss-Jordan :A =101211111;B =111201211;C =201111101D =321201221;E =110011110;F =1111111111111111.Correction.A1 =011101111;B1 =101413212;C1 =101213102D1 = 1182424154104;E1 = 12101101121;F 1 = 121001010100111111Exercice 6On considere la matrice A =1221243433471504.Demontrer que A est inversible et calculer son inverse par la methode de Gauss-Jordan.Correction. En effectuant la pivot de Gauss on montre que la rang de A est 4, donc A estinversible. En terminant avec la methode de Gauss-Jordan, on obtientA1 = 13535817151210182166121233Exercice 7On considere les matrices A =210212113et P =111101110.1. Montrer que P est inversible et exprimer son inverse.2. Montrer que T = P 1AP est triangulaire superieure.3. Calculer An pour tout n N.3

Page 4 : Correction. Comme Exo 8. DM pour les etudiants1. P 1 =1111121012. T =1000200033. An = PT nP 1 =2n + 3n + 12n + 12.2n + 3n + 13n + 113n + 12n 12n 12.2n 1Exercice 8On considere les matrices A =211010110et P =111011101.1. Montrer que P est inversible et exprimer son inverse.2. Montrer que T = P 1AP est triangulaire superieure.3. Calculer An pour tout n N.Correction.1. On trouve P 1 =112101111par la methode de Gauss-Jordan.2. On trouve T =101010001, qui est bien triangulaire superieure.3. On a : T = I3 + N, ou N =001000000, avec Nk = 0 pour tout k 2. D’ou par laformule du binˆome :n N, T n =1Xk=0nkNk =n0I3 +n1N = I3 + nN =10n010001On peut alors en deduire, en tenant compte de A = PTP 1:n N, An = PT nP 1 =n + 1nn010nn1 n4

Page 5 : Exercice 9On considere les suites reelles un, vn et wn definies par les systeme recurrentu0, v0, w0 = 1, 1, 2un+1 = 4un 2vn 2wnvn+1 = un wnwn+1 = 3un 2vn wnOn pose Xn =unvnwnpour tout n N1. Justifier qu’il existe une matrice A M3R que l’on precisera telle quen N, Xn+1 = AXn2. En deduire Xn en fonction de A, X0 et de n.3. On consdier la matrice P =101110111. Montrer que P est inversible et calculer P 1AP4. En deduire l’expression explicites des suites un, vn et wn.Correction.1.A =4221013212. Xn = AnX0 ici X0 = 1, 1, 2 par recurrence.3. Deux methodes pour calculer P 1 =111101211Et P 1AP =0000100024.Xn = AnX0 =2n+12n2n1012n+1 12n2n + 11125

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