TD6 Inverser une matrice
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Page 1 : Cycle Pre-INGPremiere AnneeAlgebre II - 2021/2022TD : Calcul de l’inverse d’une matriceExercice 1Soit A =0111011101. Calculer A2 et verifier que A2 = A + 2I3.2. En deduire que A est inversible et donner son inverse en fonctionde A.Exercice 2Demontrer que pour toute matrice A = abcdMnK :A2 a + dA + ad bdI2 = 0.En deduire une condition necessaire et suffisante pour que A soit inver-sible et exprimer A1 dans ce cas.Exercice 3Soit A =102011120Calculer A3 A. En deduire l’inversibilitede A et l’expression de son inverse.Exercice 4On concidere la matrice A =212533102. Calculer A + I33.En deduire l’inversibilite de A et l’expression de son inverse.Exercice 5Calculer l’inverse des matrices suivantes, s’il existe par deux methodesdifferentes :A =101211111B =111201211C =201111101D =321201221E =110011110F =1111111111111111
Page 2 : Exercice 6On concidere la matrice A =1221243433471504.Demontrer que A est inversible et calculer son inverse par la methodede Gauss-Jordan.Exercice 7On considere les matrices A =210212113et P =111101110.1. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.2. Montrer que D = P 1AP est diagonale.3. Calculer An pour n N.Exercice 8On considere les matrices A =211010110et P =111011101.1. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.2. Montrer que T = P 1AP est triangulaire superieure.3. Calculer An pour n N.Exercice 9On considere les suites reelles un, vn et wn definies par les systemerecurrent :u0=1v0=1w0=2un+1=4un 2vn 2wnvn+1=un wnwn+1=3un 2vn wnOn pose Xn =unvnwnpour tout n N.1. Justifier qu’il existe une matrice A M3R que l’on precisera,telle que n N, Xn+1 = AXn.En deduire Xn en fonction de A, de X0 et de n.2. On considere la matrice P =101110111. Montrer que P estinversible et calculer P 1AP.3. En deduire les expressions explicites des suites un, vn et wn.
