TD6 Inverser une matrice
Télécharger le TD6 Inverser une matrice en pdf
Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024TD6: Calcul de l’inverse d’une matriceExercice 1Soit A =0111011101. Calculer A2 et verifier que A2 = A + 2I3.2. En deduire que A est inversible et donner son inverse en fonction de A.Exercice 2Demontrer que pour toute matrice A =abcdMnK :A2 a + dA + ad bcI2 = 0En deduire une condition necessaire et suffisante pour que A soit inversible et exprimer A1dans ce cas.Exercice 3Soit A =102011120. Calculer A3 A. En deduire l’inversibilite de A et l’expression de soninverse.Exercice 4On considere la matrice A =212533102. Calculer A + I33. En deduire l’inversibilite deA et l’expression de son inverse.Exercice 5Calculer l’inverse des matrices suivantes, s’il existe, par la methode de Gauss-Jordan :A =101211111;B =111201211;C =201111101D =321201221;E =110011110;F =1111111111111111.1
Page 2 : Exercice 6On considere la matrice A =1221243433471504.Demontrer que A est inversible et calculer son inverse par la methode de Gauss-Jordan.Exercice 7On considere les matrices A =210212113et P =111101110.1. Montrer que P est inversible et exprimer son inverse.2. Montrer que T = P 1AP est triangulaire superieure.3. Calculer An pour tout n N.Exercice 8On considere les matrices A =211010110et P =111011101.1. Montrer que P est inversible et exprimer son inverse.2. Montrer que T = P 1AP est triangulaire superieure.3. Calculer An pour tout n N.Exercice 9On considere les suites reelles un, vn et wn definies par les systeme recurrentu0, v0, w0 = 1, 1, 2un+1 = 4un 2vn 2wnvn+1 = un wnwn+1 = 3un 2vn wnOn pose Xn =unvnwnpour tout n N1. Justifier qu’il existe une matrice A M3R que l’on precisera telle quen N, Xn+1 = AXn2. En deduire Xn en fonction de A, X0 et de n.3. On consdier la matrice P =101110111. Montrer que P est inversible et calculer P 1AP4. En deduire l’expression explicites des suites un, vn et wn.2
