TD6 Polynomes Correction
Télécharger le TD6 Polynomes Correction en pdf
Pages : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
Page 1 : Algebre-Premier semestre 2023-2024CY TechTD AlgebrePolynˆomes.Algebre
Page 2 : Exercice 6.1Resoudre les equations suivantes :1 QX2 = X · PX2 d’inconnues P et Q dans CX.2 P ◦P = P d’inconnue P dans CX.3 PX 2 = X 2 + 1PX d’inconnue P dans CX.Solution : Nous allons resoudre chaque equation a l’aide du degre despolynˆomes.Algebre
Page 3 : Exercice 6.11 QX2 = X · PX2 d’inconnues P et Q dans CX.Solution : Supposons qu’il existe un couple de polynˆomes P, Q solution de laequationQX2 = X · PX2.On separe le probleme en trois cas :P ̸= 0 et Q ̸= 0 : L’egalite QX2 = X · PX2 implique quedegQX2= degX · PX2=⇒2 degQ = 1 + 2 degP=⇒1 = 2degQ degP,ce qui implique que 1 est un entier pair : c’est absurde. Donc, si P et Qsont solution de l’equation, alors il faut qu’au moins un des deuxpolynomes soit le polynome nul.P = 0 : AlorsQX2 = X · PX2 = 0=⇒Q2X = 0=⇒QX = 0.Ainsi Q = P = 0. Il est immediat que P = Q = 0 est solution del’equation.Algebre
Page 4 : Exercice 6.1Q = 0 : AlorsX · PX2 = QX2 = 0=⇒X · PX2 = 0=⇒PX2 = 0=⇒P = 0.Ainsi P = Q = 0. Donc le couple de polynˆome nul est la seulesolution possible.Algebre
Page 5 : Exercice 6.12 Resoudre l’equation P ◦P = P d’inconnue P dans CX.Solution : Le polynˆome nul est evidemment solution. Supposons qu’ilexiste un polynˆome non nul P solution. Nous avonsP ◦P = P=⇒degP ◦P = degP=⇒degP2 = deg P=⇒degP = 0 oudegP = 1=⇒PX = aX + bavec a, b C.Algebre
Page 6 : Exercice 6.1MaintenantP ◦P = P=⇒PPX = PX=⇒a aX + b + b = aX + b=⇒a2X + ab + b = aX + b=⇒a2 aX + ab = 0=⇒aa 1 = 0etab = 0=⇒a = 1 et b = 0oua = 0 et b C=⇒PX = XouPX = bavecb C.On peut conclure que les polynˆomes P solutions sont les polynˆomesconstants et celui defini par PX = X. Il est clair en effet quereciproquement, ces polynˆomes sont bien solutions.Algebre
Page 7 : Exercice 6.13 Resoudre l’equation PX 2 = X 2 + 1PX d’inconnue P dans CX.Solution : Le polynˆome nul est evidemment solution. Supposons qu’ilexiste un polynˆome non nul P solution. Nous avonsPX 2 = X 2 + 1PX=⇒degPX 2 = degX 2 + 1P=⇒2 degP = 2 + deg P=⇒degP = 2=⇒PX = aX 2 + bX + cavec a Cet b, c C.Algebre
Page 8 : Exercice 6.1Et on obtient alorsPX 2 = X 2 + 1PX=⇒aX 4 + bX 2 + c = X 2 + 1aX 2 + bX + c=⇒aX 4 + bX 2 + c = aX 4 + bX 3 + c + aX 2 + bX + c=⇒bX 2 + c = bX 3 + c + aX 2 + bX + c=⇒b = 0eta + c = b=⇒c = aetb = 0=⇒PX = aX 2 aaveca C.Les seuls polynˆomes P pouvant ˆetre solution sont donc finalement ceuxs’exprimant sous la forme PX = aX 2 1, avec a C. Reciproquement, soitP un tel polynˆome, alors :PX 2 = aX 4 1 = aX 2 + 1X 2 1 = X 2 + 1PX.Conclusion : les solutions sont les polynˆomes P s’exprimant sous la formeaX 2 1, avec a C.Algebre
Page 9 : Exercice 6.2Resoudre les equations suivantes d’inconnue P CX :1 P′X2 = 4PX.2 PX XP′X = X.Solution :1 P′X2 = 4PX : Le polynˆome nul est evidemment solution.Notons que tout autre polynome constant n’est pas solution del’equation. Soit donc P solution de l’equation avecdegP 1.AlorsP′X2 = 4PX=⇒deg4P = degP′2=⇒degP = 2 degP′ = 2degP 1=⇒degP = 2=⇒PX = aX 2 + bX + cavec a Cet b, c C.Algebre
Page 10 : Exercice 6.2Et on obtient alorsP′X2 = 4PX=⇒2aX + b2 = 4aX 2 + bX + c=⇒4a2X 2 + 4abX + b2 = 4aX 2 + 4bX + 4c=⇒4a2 = 4a;4ab = 4b;b2 = 4c=⇒aa 1 = 0;ba 1 = 0;c = b2/4=⇒a = 1;b C;c = b2/4=⇒P = X 2 + bX + b24avec b C.Les seules solutions possibles sont donc le polynˆome nul et les polynˆomesP de la formeX 2 + bX + b24 ,b C.On verifie reciproquement que tous les polynˆomes de ce type sont biensolutions.Algebre
Page 11 : Exercice 6.22 PX XP′X = X : Supposons queP =nXk=0akX k CXest solution de l’equation. AlorsPX XP′X = X=⇒nXk=0akX k XnXk=1kakX k1 = X=⇒nXk=0akX k nXk=1kakX k = X=⇒a0 +nXk=1ak kakX k = X=⇒a0 = 0 ; a1 a1 = 1 ; k 1, ak1 k = 0=⇒a0 = 0;0 = 1;k 1, ak = 0.Ce qui est absurde. Donc le probleme n’a pas de solution.Algebre
Page 12 : Exercice 6.3Effectuer la division euclidienne de : X 4 X 3 + X 2 parX 2 2X + 4.Solution : On pose une division de polynˆomes comme on pose unedivision euclidienne de deux entiers. En effetX 4-X 3+X-2X 2 2X + 4-X 4-2X 3+4X 2X 2+X 2X 3-4X 2+X-2-X 3-2X 2+4X-2X 2-3X-2--2X 2+4X-8-7X+6Alors on trouveQ = X 2 + X 2 QuotientetR = 7X + 6 Reste.On n’oublie pas de verifier qu’effectivement A = BQ + R.Algebre
Page 13 : Exercice 6.3Effectuer la division euclidienne de : 3X 5 + 2X 4 X 2 + 1 parX 3 + X + 2.Solution : On pose une division de polynˆomes comme on pose unedivision euclidienne de deux entiers. En effet3X 5+2X 4X 2++1X 3 + X + 23X 5+3X 3+6X 23X 2+2X 32X 43X 37X 2++12X 4+2X 2+4X3x39X 24X+1-3x33X69X 2+X+7Alors on trouveQ = 3X 2 + 2X 3 QuotientetR = 9X 2 X + 7 Reste.On n’oublie pas de verifier qu’effectivement A = BQ + R.Algebre
Page 14 : Exercice 6.4Effectuer les divisions euclidiennes de :3X 5 + 4X 2 + 1 par X 2 + 2X + 3 : Solution :3X 5 + 4X 2 + 1 = X 2 + 2X + 33X 3 6X 2 + 3X + 16 + 41X 47.X 5 7X 4 X 2 9X + 9 par X 2 5X + 4 : Solution :X 57X 4X 29X+9 = X 25X+4X 32X 214X63+268X+261Algebre
Page 15 : Exercice 6.5Demontrer les divisibilites suivantes et determiner les quotientscorrespondants :1X 1X 3 2X 2 + 3X 2.2X 2X 3 3X 2 + 3X 2.3X + 1X 3 + 3X 2 2.Solution : Il suffit dans chaque cas d’effectuer la division euclidienne etd’observer que le reste de cette division est le polynˆome nul. Nous avons :1X 3 2X 2 + 3X 2 = X 1X 2 X + 2.2X 3 3X 2 + 3X 2 = X 2X 2 X + 1.3X 3 + 3X 2 2 = X + 1X 2 + 2X 2.Algebre
Page 16 : Exercice 6.6Soit a; b C2 tel que a ̸= b et soit P CX.a Sachant que le reste de la division euclidienne de P par X a est 1et celui de la division euclidienne de P par X b est 1, quel est lereste de la division euclidienne de P par X aX b.b Generalisation : Determiner le reste de la division euclidienne de Ppar X aX b en fonction de Pa, Pb, a et b.Algebre
Page 17 : Exercice 6.61 Sachant que le reste de la division euclidienne de P par X a est 1 et celuide la division euclidienne de P par X b est 1, quel est le reste de la divisioneuclidienne de P par X aX b.Solution : Soit P un polynome satisfaisant les hypotheses. Le Theoreme de ladivision euclidienne, nous dit qu’il existe QX et RX CX, tels quePX = X aX bQX + RX,degR degX aX b = 2.Comme degR 2, on deduit que RX = cX + d avec c, d C. Nous allonsdeterminer c et d. Maintenant :puisque le reste de la division euclidienne de P par X a est 1, il existeQ1 CX tel quePX = X aQ1X + 1=⇒Pa = 1.puisque le reste de la division euclidienne de P par X b est -1, il existeQ2 CX tel quePX = X bQ2X 1=⇒Pb = 1.Algebre
Page 18 : Exercice 6.6D’ou on en deduit1= Pa = Ra = ac + d1= Pb = Rb = bc + d=⇒1= ac + d1= bc + d=⇒ c=2abd= a+bbaLe reste est doncRX=cX + d=2a b X + a + bb a.Algebre
Page 19 : Exercice 6.6b Generalisation : Determiner le reste de la division euclidienne de P parX aX b en fonction de Pa, Pb, a et b.Solution : Soit P CX. Le Theoreme de la division euclidienne, nous ditqu’il existe QX et RX CX, tels quePX = X aX bQX + RX,degR degX aX b = 2.Comme degR 2, on deduit que RX = cX + d avec c, d C. Nous allonsdeterminer c et d. Nous avons : Pa = Ra = ac + dPb = Rb = bc + d=⇒ Pa = ac + dPb = bc + d=⇒c=PbPabad=bPaaPbbaLe reste est doncRX = Pb Pab aX + bPa aPbb a.Algebre
Page 20 : Exercice 6.7Determiner une condition necessaire et suffisante sur a; b C2 pourque le polynˆome X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2.Solution : Effectuons la division euclidienne deX 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2parX 2 + 2.Nous avonsX 4+X 3+aX 2+bX+2X 2 + 2-X 4+2X 2X 2+X+a-2X 3+a 2X 2+bX+2-X 3+2Xa 2X 2+b 2X+2-a 2X 2++2a 2+b 2X+6 2aPar consequentX 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2 = X 2 + 2X 2 + X + a 2 + b 2X + 6 2a.Algebre
Page 21 : Exercice 6.7Ainsi, le polynˆome X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2 si etseulement sib 2X + 6 2a = 0⇐⇒b = 2eta = 3.La condition necessaire et suffisante est doncb = 2eta = 3Algebre
Page 22 : Exercice 6.8Determiner tous les polynˆomes de R3X divisibles par X 1 et ayantle mˆeme reste dans les divisions euclidiennes par X 2, X 3 etX 4.Notation :R3X=ensemble des polynˆomes a coefficients reels de degre inferieurou egal a 3Solution : Soit P un polynome de degre au plus 3 dans RX, verifianttoutes ces proprietes. Nous avonsX 1 divise P. Donc il existe un polynome de degre au plus 2QX = aX 2 + bX + ctel quePX = X 1QX = X 1aX 2 + bX + c.Algebre
Page 23 : Exercice 6.8Aussipuisque le reste dans la divisions euclidiennes de P par X 2,X 3 et X 4 est le mˆeme, on conclut qu’il existeQ1, Q2, Q3 RXetR un polynome constantetel queP=X 2Q1X + R,P=X 3Q2X + R,P=X 4Q3X + R.D’ou on en deduit,P2=2 2Q12 + R = R,P3=3 3Q23 + R = R,P4=4 4Q34 + R = R.Algebre
Page 24 : Exercice 6.8Ainsi, a l’aide de l’egalite PX = X 1aX 2 + bX + c, on conclutR=P2 = 4a + 2b + c,R=P3 = 18a + 6b + 2c,R=P4 = 48a + 12b + 3c.La resolution de ce systeme fournitR=4a + 2b + cR=18a + 6b + 2cR=48a + 12b + 3c=⇒b=8ac=18aR=6aavec a R.Par consequent, P doit necessairement satisfaire l’egalitePX=aX 1X 2 8X + 18=aX 3 9aX 2 + 26aX 18a,avec a R.On verifie reciproquement que tous les polynˆomes de cette forme sontbien solutions.Algebre
Page 25 : Exercice 6.9Montrer que le polynˆomePX = 1 + X + X 22! + · · · + X nn!ne possede que des racines simples dans C.Solution : Utilisons un raissonement par l’absurde. Supposons donc α C estune racine au moins double de P. Ainsi, α est une racine au moins simple deP′. OrP′X=1 + X + 3X 23!+ · · · + nX n1n!=1 + X + X 22! + · · · +X n1n 1!.Ceci implique quePX P′X = X nn!=⇒αnn! = Pα P′α = 0 0 = 0α est racine de P et P′=⇒α = 0.Algebre
Page 26 : Exercice 6.9OrP0=1 + 0 + 022! + · · · + 0nn!=1 ̸= 0.Contradiction ! car on a suppose que α est une racine. Donc P nepossede que des racines simples.Algebre
Page 27 : Exercice 6.10Soit n N. On considere un reel a fixe et un polynˆome P RnX tel quePa 0 et que :k N, 0 k n,Pka 0.Demontrer que P ne s’annule pas sur a, +.Solution : En utilisant la formule de Taylor en a, on obtient :PX =nXk=0Pkak!X ak.Ainsi, pour tout x a, +, nous avonsPx =nXk=0Pkak!x ak=Pa +nXk=1Pkak!x akzcar xaetPka0Pa 0.C’est-a-dire, pour tout x a, +, Px 0. On a bien montre ainsi que Pne s’annule pas sur a, +.Algebre
Page 28 : Exercice 6.11Determiner tous les polynˆomes de CX divisibles par leur polynˆomederive.Solution : Soit P CX une eventuelle solution. Si degP 0, alors laseule solution est clairementP = 0.Supposons donc quedegP = n 1.Comme par hypothese P′ divise P, on conclut qu’il existe un polynomeQ CX tel quePX = P′XQX.OrdegP′ = degP 1=⇒degQ = 1=⇒QX = λX α.Par consequentPX = λX αP′X.Algebre
Page 29 : Exercice 6.11Maintenant, si on applique la formule de Taylor a P en α, on obtientPX =nXk=0Pkαk!X αk.Formule qui nous permet d’ecrireP′X =nXk=1Pkαk!kX αk1=⇒PX=λX αP′X=nXk=1Pkαk!λkX αk.AinsinXk=0Pkαk!X αk =nXk=1Pkαk!λkX αk.Par identification, on conclut pour tout k N, 0 k n, l’egalite :Pkαk!= Pkαk!λk=⇒Pkαk!λk 1 = 0.Algebre
Page 30 : Exercice 6.11Finalement, puisque Pnα ̸= 0 En effetdeg P = n =⇒PnX = n! · coefficient dominant de P,on conclutPnαn!λn 1 = 0=⇒λ = 1n=⇒k n, Pkαk!= 0.Par consequentPX = Pnαn!· X αn.Ce qui prouve que PX est de la forme KX αn avec K C.Reciproquement, on verifie immediatement que tous les polynˆomes de laforme precedente sont solution.Algebre
Page 31 : Exercice 6.12Justifier les divisibilites suivantes :1 Pour tout n N, X 2 divise X + 1n nX 1.2 Pour tout n NX 13 divise nX n+2 n + 2X n+1 + n + 2X n.Solution :1 Soit PX = X + 1n nX 1. Commen¸cons par noter queX 2 divise P⇐⇒0 est une racine de multiplicite au moins 2.Montrons donc que 0 est une racine au moins double de P. Si n = 0, alors P estle polynome nul et P est divisible par X 2. Supposons n 1, alors nous avonsP0 = 0 + 1n n · 0 1 = 1 1 = 0.Ainsi 0 est une racine de P. De plusP′X = nX + 1n1 n=⇒P′0 = n0 + 1n1 n = 0.Ainsi 0 est une racine de P′. Par consequent, 0 est une racine au moins doublede P. Donc X 2 divise P.Algebre
Page 32 : Exercice 6.122 Soit PX = nX n+2 n + 2X n+1 + n + 2X n. Commen¸cons par noterqueX 13 divise P⇐⇒1 est une racine de multiplicite au moins 3.Montrons donc que 1 est une racine au moins triple de P. Nous avonsP1 = n n + 2 + n + 2 n = 0Ainsi 1 est une racine de P. De plusP′X=nn + 2X n+1 n + 2n + 1X n + n + 2=⇒P′1 = nn + 2 n + 2n + 1 + n + 2 = 0.etP′′X=nn + 1n + 2X n n + 2n + 1nX n1=⇒P′′1 = nn + 1n + 2 nn + 2n + 1 = 0.Ainsi 1 est une racine de P′ et de P′′. Par consequent, 1 est une racine aumoins triple de P. Donc X 13 divise P.Algebre
Page 33 : Exercice 6.13Determiner les polynˆomes P qui verifient :1 P0 = P1 = P2 = · · · jusqu’a l’infini.2 PX + 1 = PX.3 La fonction polynomiale associee a P est periodique.Algebre
Page 34 : Exercice 6.131 P0 = P1 = P2 = · · · jusqu’a l’infini.Solution : SoitQX = PX P0.Alors0 = Q0 = Q1 = Q2 = · · ·=⇒n N, Qn = 0.Par consequent, Q possede une infinite des racines, c’est donc lepolynˆome nul0 = QX = PX P0=⇒PX = P0.Ainsi P est un polynome constante. Reciproquement, les polynˆomesconstants etant solutions, les solutions sont les polynˆomes constants.Algebre
Page 35 : Exercice 6.132 PX + 1 = PX.Solution : Si PX = PX + 1, alorsP0 = P1 = P2 = P3 = · · · .Nous sommes donc dans le cas precedent. Les solutions sont donc lespolynˆomes constants.Algebre
Page 36 : Exercice 6.133 La fonction polynomiale associee a P est periodique.Solution : Soit T la periode de P. Nous avons :PX = PX + T=⇒P0 = PT = P2T = P3T = · · · .Ainsi, si nous posons QX = PX P0, on conclutn N, QnT = 0=⇒Q admet une infinite des racines.=⇒QX = 0=⇒PX = P0=⇒P est un polynˆome constant.Les solutions sont donc les polynˆomes constants.Algebre
Page 37 : Exercice 6.14Demontrer qu’il existe un unique polynˆome P de degre inferieur ou egal a 3,que l’on determinera, tel queX 12 divise PX 1 et X + 12 divise PX + 1.Solution : Supposons que P = aX 3 + bX 2 + cX + d verifie les hypotheses. AlorsX 12 divise PX 1=⇒1 est une racine au moins double de PX 1=⇒1 est une racine au moins simple dePX 1′ = P′X=⇒P1 = 1etP′1 = 0De mˆemeX + 12 divise PX + 1=⇒1 est une racine au moins double de PX + 1=⇒1 est une racine au moins simple dePX + 1′ = P′X=⇒P1 = 1etP′1 = 0.Algebre
Page 38 : Exercice 6.14D’ou on conclutP1=1P1=1P′1=0P′1=0⇐⇒a + b + c + d=1a + b c + d=13a + 2b + c=03a 2b + c=0E3+E4=⇒E1E23a + c=02a + 2c=2Ceci implique quea = 12 et c = 32.D’ou2b = 3a + c = 32 + 32 = 0.Donc b = 0. Puisd = 1 a b c = 1 + 12 32 = 0.Algebre
Page 39 : Exercice 6.14Donc l’unique posibilite pour P estPX = 12X 3 + 32X.On verifie facilement que ce polynˆome est bien solution.Algebre
Page 40 : Exercice 6.15Determiner tous les polynˆomes P de R5X tels que X + 23 divisePX + 10 et que X 23 divise PX 10Solution : Supposons que PX verifie les hypotheses. AlorsX + 23 divise PX + 10=⇒2 est une racine au moins triple dePX + 10=⇒2 est une racine au moins double dePX + 10′ = P′X=⇒X + 22 divise P′XDe mˆemeX 23 divise PX 10=⇒2 est une racine au moins triple de PX 10=⇒2 est une racine au moins double dePX 10′ = P′X=⇒X 22 divise P′XAlgebre
Page 41 : Exercice 6.15AinsiX 22P′X et X + 22P′XPar consequentQX RX, P′X = X 22X + 22QX.OrdegP′=degP 1 5 1 = 4etdegP′=degX 22X + 22QX=4 + degQX.Par consequent, degP′ = 4, d’ou on conclutdegQX = 0=⇒QX = λ C.AinsiP′X = λX 22X + 22 = λX 4 8X 2 + 16Algebre
Page 42 : Exercice 6.15Maintenant, nous savons que :A′X = λX n⇐⇒µ C, AX =1n + 1 · λX n+1 + µ.Par consequent, comme P′X = λX 4 8X 2 + 16, on conclut qu’il existeµ C et λ C tel quePX = λX 55 8X 33 + 16X+ µ.Finalement, puisque 2 est une racine de PX + 10 et 2 est une racine dePX 10, on conclut queP2 = 10 et P2 = 10.D’ou on deduit queλ = 75128et µ = 0a vous de verifier, il suffit d’evaluer P en 2 et en -2 pour ensuite resoudre lesysteme de 2 equations a 2 inconnues.Algebre
Page 43 : Exercice 6.15Donc l’unique posibilite pour P estPX =51283X 5 40X 3 + 240X.On verifie reciproquement que ce polynˆome est solution.Algebre
Page 44 : Exercice 6.16Pour quelles valeurs de a R le polynˆome P defini parPX = X + 17 X 7 a admet-il une racine multiple reelle.Solution : Le polynˆome P admet une racine multiple reelle r si etseulement siPr = P′r = 0,c’est-a-dire si seulement si r + 17 r 7 a=07r + 16 7r 6=0⇐⇒ r + 17 r 7 a=0r + 16 r 6=0Orr + 16 r 6 = 0⇐⇒r + 16 = r 6⇐⇒r + 13 = r 3 ou r + 13 = r 3⇐⇒r + 1 = r ou r + 1 = r⇐⇒r = 12.Algebre
Page 45 : Exercice 6.16Par consequent, P admet une racine multiple reelle si et seulement si r=12a=12 + 17 127⇐⇒ r=12a=164Algebre
Page 46 : Exercice 6.17Soit P = anX n + · · · + a0 un polynˆome a coefficients entiers tel quea0an ̸= 0. Montrer que si r = pq avec p et q premiers entre eux, est uneracine rationnelle de P alors p divise a0 et q divise an.Solution : Soir r = pq avec p et q premiers entre eux. Par hypothesenous avonsPr = 0⇐⇒anpnqn + an1pn1qn1 + · · · + a1pq + a0 = 0⇐⇒anpn + an1pn1q + · · · + a1pqn1 + a0qn = 0.PosonsS = anpn + an1pn1q + · · · + a1pqn1=⇒S + a0qn = 0=⇒S = a0qn,etT = an1pn1q + · · · + a1pqn1 + a0qn=⇒anpn + T = 0=⇒T = anpn.Algebre
Page 47 : Exercice 6.17MaintenantpS=⇒pa0qnorq et p sont premiers entre eux=⇒pa0.qT=⇒qanpnorq et p sont premiers entre eux=⇒qan.Algebre
Page 48 : Exercice 6.18Soit le polynˆome P = X 8 + 2X 6 + 3X 4 + 2X 2 + 1.1 Montrer que j est racine de ce polynˆome. Determiner son ordre demultiplicite.2 Quelle consequence peut-on tirer de la parite de P ?3 Decomposer P en facteurs irreductibles dans CX et dans RX.Solution :1 Comme¸cons par rappeler que j correspond a la racine cubique del’unite :j = e2iπ3 = 12 + i32 .Quelques relations a connaˆıtrej3 = 1,j = j2,1 + j + j2 = 0.C’est-a-dire j et j son les racines du polynˆome :X 2 + X + 1 = X jX j .Algebre
Page 49 : Exercice 6.18Maintenant, puisque j3 = 1, on deduitPj=j8 + 2j6 + 3j4 + 2j2 + 1=j2 + 2 + 3j + 2j2 + 1=3j2 + j + 1 = 0.Pour trouver son ordre de multiplicite, nous allons calculer les derivees deP. On aP′X=8X 7 + 12X 5 + 12X 3 + 4X=⇒P′j=8j7 + 12j5 + 12j3 + 4j=8j + 12j2 + 12 + 4j=12j2 + j + 1 = 0.Ainsi j est une racine au moins double de P.Algebre
Page 50 : Exercuce 6.18Etudions sa deuxieme deriveeP′′X=56X 6 + 60X 4 + 36X 2 + 4=⇒P′′j = 56j6 + 60j4 + 36j2 + 4= 56 + 60j + 36j2 + 4= 36j2 + j + 1 + 24j + 1= 24j + 1 ̸= 0.Ainsi j est une racine double de P. Notons aussi que, puisque P est unpolynome a coefficient reels, nous avonsPj= Pj = 0.Ainsi,jest aussi une racine double de P.Algebre
Page 51 : Exercuce 6.182 Quelle consequence peut-on tirer de la parite de P ?Solution : Nous avonsP est pair=⇒Pj = Pj = 0etPj= Pj= 0.Maintenant, notons que :P′X=8X7 + 12X5 + 12X3 + 4X=8X 7 + 12X 5 + 12X 3 + 4X=P′X.Ainsi, P′ est impair. D’ou on conclutP′ est impair=⇒P′j = P′j = 0etP′ j= P′ j= 0.Ainsi j et j sont de racines au moins doubles de P.De plus, vouspouvez rapidement verifier que P′′j ̸= 0 et P′′j ̸= 0. Parconsequent, j et j sont de racines doubles de P.Algebre
Page 52 : Exercice 6.183 Decomposer P en facteurs irreductibles dans CX et dans RX.Solution : D’apres les deux questions precedents, nous avons quej, j,j et j sont de racines de P de multiplicite deux. Lepolynˆome etant de degre huit, nous avons toutes les racines. Ainsi surCX la decompositon de P estPX = X j2X + j2X j 2X + j 2Pour la decomposition dans RX, on regroupe les termes conjuguesPX=X j2X + j2X j X + j 2=X jX j 2X + jX + j 2=X 2 + X + 12X 2 X + 12.Algebre
Page 53 : Exercice 6.19Soit P = X 2 X + 12 + 1.1 Verifier que i est racine de P.2 En deduire alors la decomposition en produit de facteursirreductibles de P sur RX3 Factoriser sur CX et sur RX les polynˆomes suivants en produit depolynˆomes irreductiblesa R = X 6 X 5 + X 4 X 3 + X 2 X + 1.b S = X 5 13X 4 + 67X 3 171X 2 + 216X 108. on cherchera lesracines doubles de SAlgebre
Page 54 : Exercice 6.19Solution :1 Nous avonsPi=i2 i + 12 + 1=1 i + 12 + 1=1 + 1 = 0.2 Comme P est un polynome a coefficient reels et i est une racine deP, nous pouvons conclure que i = i est une racine de P. AinsiX iX + i = X 2 + 1divisePEn effectuant la division euclidienne de P par X 2 + 1, on trouvePX = X 2 + 1X 2 2X + 2.Ce dernier polynˆome ne possede que de racines complexes, en effet,le discriminant de X 2 2X + 2 est negatif. Nous avons donc trouvela decomposition en facteurs irreductibles de P sur RX.Algebre
Page 55 : Exercice 6.193a R = X 6 X 5 + X 4 X 3 + X 2 X + 1Solution : Nous avonsR = X 6 X 5 + X 4 X 3 + X 2 X + 1 =6Xk=0Xk = 1 + X 71 + X .Les racines de R sont donc celles de X 7 + 1 sauf 1. Ainsi :RX=X ei π7 X ei π7 X ei 3π7 X ei 3π7·X ei 5π7 X ei 5π7.C’est la decomposition de P dans CX. Pour trouver la decompositionde P dans RX, on regroupe les termes conjuguesRX=X 2 2 cosπ7X + 1 X 2 2 cos3π7X + 1·X 2 2 cos5π7X + 1.Algebre
Page 56 : Exercice 6.193b S = X 5 13X 4 + 67X 3 171X 2 + 216X 108. on cherchera lesracines doubles de SSolution : Determinons les racines evidentes de S en remarquant que lesracines reelles sont necessairement positives. En effet, si α 0, alorsSα=α5 13α4 + 67α3 171α2 + 216α 108=α5 13α4 + 67α3 171α2 + 216α 108=α5 13α4 67α3 171α2 216α 108=α5 + 13α4 + 67α3 + 171α2 + 216α + 108 0.De plus, d’apres l’exercice 6.17, si α = pq est une racines rationnelle deS, alorsp divise 108etq divise 1.Ainsi, les racines rationnelle de S sont forcement des entieres positifs etdivisent 108. Maintenant108 = 22 · 33=⇒α 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108.Algebre
Page 57 : Exercice 6.19On constate que S2 = 0, de plusS′2=524 5223 + 20122 3422 + 216=80 416 + 804 684 + 216 = 0etS′′2 ̸= 0.Donc 2 est une racine double. De mˆeme, vous pouvez verifier queS3 = S′3 = S′′3 = 0etS4 ̸= 0.Ainsi, 3 est une racine triple. Le polynˆome S etant de degre cinq, nousavons toutes les racines. Sur RX la decompositon de S est doncSX = X 22X 33.Algebre
Page 58 : Exercice 6.20Dans chacun des cas suivants, factoriser le polynˆome P dans CX etdans RX :1 PX = X 4 12 PX = X 2 X + 12 + 13 PX = X 4 + X 2 + 14 PX = X 8 + X 4 + 15 PX = X 6 + 16 PX = X 12 17 PX = X 9 + X 6 + X 3 + 1Algebre
Page 59 : Exercice 6.201 PX = X 4 1 : Nous avonsX 4 1 = 0⇐⇒X 4 = 1.Ainsi, les racines de P sont les racines quatrieme de l’unite, doncPX=X 1X + 1X iX + iDecomposition dans CX=X 1X + 1X 2 + 1Decomposition dans RX.Algebre
Page 60 : Exercice 6.202 PX = X 2 X + 12 + 1 : L’identite remarquablea2 b2 = a ba + b,nous permet d’ecrireX 2 X + 12 + 1=X 2 X + 12 i2=X 2 X + 1 i · X 2 X + 1 + i=X 2 + 1 X + i · X 2 + 1 X i=X + iX i X + i · X iX + i X i=X + iX i 1X iX + i 1zDecomposition dans CXPour trouver la decomposition dans RX, on regroupe les termes conjugues :PX=X + iX iX 1 iX 1 + i=X 2 + 1X 2 2X + 2.Algebre
Page 61 : Exercice 6.203 PX = X 4 + X 2 + 1 : C’est un polynˆome bicarre et nous savons queles racines de1 + X + X 2sont les racines troisiemes de l’unite j et j = j2 avecj = ei 2π3 .Ainsi, a l’aide de l’identite a2 b2 = a ba + b, nous pouvons ecrireX 4 + X 2 + 1=X 2 ei 2π3 X 2 ei 4π3=X ei π3 X + ei π3 X ei 2π3 X + ei 2π3.Ce qui nous donne la decomposition de P dans CX.Algebre
Page 62 : Exercice 6.20Pour trouver la decomposition dans RX, on regroupe les termesconjugues :X 4 + X 2 + 1=X ei π3 X + ei π3 X ei 2π3 X + ei 2π3=X ei π3 X eiπei π3 X ei 2π3 X eiπei 2π3=X ei π3 X ei 4π3 X ei 2π3 X ei 5π3=X ei π3 X ei 2π3 X ei 2π3 X ei π3 =X ei π3 X ei π3 X ei 2π3 X ei 2π3=X 2 X + 1X 2 + X + 1.Algebre
Page 63 : Exercice 6.204 PX = X 8 + X 4 + 1 : Nous avonsX 8 + X 4 + 1 = X 42 + X 4 + 1On utilise donc la mˆeme methode que precedemment. AinsiX 8 + X 4 + 1=X 4 ei 2π3 X 4 ei 4π3=X 2 ei π3 X 2 + ei π3 X 2 ei 2π3 X 2 + ei 2π3=X 2 ei π3 X 2 eiπei π3 X 2 ei 2π3 X 2 eiπei 2π3=X 2 ei π3 X 2 ei 4π3 X 2 ei 2π3 X 2 ei 5π3=X 2 ei π3 X 2 ei 2π3 X 2 ei 2π3 X 2 ei π3 =X ei π6 X + ei π6 X ei π3 X + ei π3 ·X ei π3 X + ei π3 X ei π6 X + ei π6 .Ce qui nous donne la decomposition de P dans CX.Algebre
Page 64 : Exercice 6.20Pour trouver la decomposition dans RX, on regroupe les termes conjugues :X 8 + X 4 + 1=X ei π6 X + ei π6 X ei π3 X + ei π3·X ei π3 X + ei π3 X ei π6 X + ei π6=X ei π6 X ei π6 X ei π3 X ei π3·X ei 2π3 X ei 2π3 X ei 5π6 X ei 5π6=X 2 +3X + 1X 2 X + 1X 2 + X + 1X 2 3X + 1.Algebre
Page 65 : Exercice 6.205 PX = X 6 + 1 : Nous avonsX 6 + 1 = 0⇐⇒X 6 = 1⇐⇒X 6 = eiπ.Les racines de P sont donc les racines 6es de 1 :eiπ6 + 2kiπ6 ,0 k 5.DoncX 6 + 1=5Yk=0X eiπ6 + 2kiπ6=X ei π6 X ei π6 X ei π2 X ei π2 ·X ei 5π6 X ei 5π6.Ainsi la decomposition de P dans CX est :X 6 + 1=X iX + iX ei π6 X ei π6 X ei 5π6 X ei 5π6.et la decomposition de P dans RX est :X 6 + 1=X 2 + 1X 2 +3X + 1X 2 3X + 1.Algebre
Page 66 : Exercice 6.206 PX = X 12 1 : Nous avonsX 12 1 = 0⇐⇒X 12 = 1.Les racines de P sont donc les racines 12es de l’unite :e2ikπ12 ,0 k 11.DoncX 12 1=11Yk=0X e2ikπ12=X 1 X + 1 X i X + iX ei 2π3 X ei 2π3 X ei π3·X ei π3 X ei π6 X ei π6 X ei 5π6 X ei 5π6Ce qui corresponds a la decomposition de P dans CX. Pour trouver ladecomposition dans RX, on regroupe les termes conjuguesX 12 1=X 1X + 1X 2 + 1X 2 + X + 1X 2 X + 1·X 2 +3X + 1X 2 3X + 1Algebre
Page 67 : Exercice 6.207 PX = X 9 + X 6 + X 3 + 1 : Nous avonsX 9 + X 6 + X 3 + 1=X 33+X 32+ X 3 + 1=X 32X 3 + 1 + X 3 + 1=X 3 + 1X 6 + 1.MaintenantX 3 + 1=X + 1X 2 X + 1=X + 1X ei π3 X ei π3racines cubiques de 1De plus, en utilisant la question 5, nous pouvons ecrireX 6 + 1=X + 1X 2 + 1X 2 X + 1X 2 +3X + 1X 2 3X + 1=X iX + iX ei π6 X ei π6 X ei 5π3 X ei 5π3.Ainsi la decomposition de P dans RX estX 9 + X 6 + X 3 + 1=X + 1X 2 + 1X 2 X + 1X 2 +3X + 1·X 2 3X + 1.Algebre
Page 68 : Exercice 6.20Finalement, la decomposition de P dans CX estX 9 + X 6 + X 3 + 1=X + 1X iX + iX ei π6 X ei π6 ·X ei π3 X ei π3 X ei 5π3 X ei 5π3.Algebre
Page 69 : Exercice 6.21Soit P = X 4 5X 3 + 9X 2 15X + 18 CX. Determiner toutes lesracines complexes de P sachant que deux d’entre elles ont 6 pour produit.Solution : Soient a, b, c et d les racines complexes de P. Nous avonsP=X 4 5X 3 + 9X 2 15X + 18=X aX bX cX d=X 4 a + b + c + dX 3 + ab + ac + ad + bc + bd + cdX 2abc + abd + acd + bcdX + abcdAinsia + b + c + d=5ab + ac + ad + bc + bd + cd=9abc + abd + acd + bcd=15abcd=18Algebre
Page 70 : Exercice 6.21Supposons que ab = 6. Le systeme devient alorsa + b + c + d=5ac + ad + bc + bd + cd=36c + d + acd + bcd=15cd=3=⇒a + b + c + d=5ac + ad + bc + bd=06c + d + 3a + b=15cd=3=⇒a + b + c + d=5a + bc + d=0a + b + 2c + d=5cd=3D’ou on concluta + b + c + d=5a + bc + d=0a + b + 2c + d=5cd=3=⇒ a + b=5c + d=0Ainsi a + b=5ab=6et c + d=0cd=3Algebre
Page 71 : Exercice 6.21Par consequent, les racines de P satisfonta et b sont racines de X 2 5X + 6=⇒a, b = 2, 3c et d sont racines de X 2 + 3=⇒c, d =ni3, i3oCe qui nous permet de trouver la decomposition en facteurs irreductiblesde P en CXPX=X 2X 3X i3X + i3.Algebre
Page 72 : Exercice 6.22Soit x1, x2, x3 les racines de X 3 2X 2 + X + 3. Calculer x31 + x32 + x33.Solution : Comme x1, x2, x3 sont les racines de X 3 2X 2 + X + 3, nous avonsX 3 2X 2 + X + 3=X x1X x2X x3=X 3 x1 + x2 + x3X 2 + x1x2 + x1x3 + x2x3X x1x2x3.Donc par identification, nous avonsx1 + x2 + x3=2x1x2 + x1x3 + x2x3=1x1x2x3=3.De plusx31=2x21 x1 3x32=2x22 x2 3x33=2x23 x3 3.En additionnant ces 3 dernieres equations, on obtientx31 + x32 + x33=2x21 + x22 + x23 x1 + x2 + x3 9=2x21 + x22 + x23 2 9=2x21 + x22 + x23 11.Algebre
Page 73 : Exercice 6.22Pour trouver la valeur de x21 + x22 + x23, il suffit de noter quex1 + x2 + x32 = x21 + x22 + x23 + 2x1x2 + x1x3 + x2x3Par consequentx21 + x22 + x23 = x1 + x2 + x32 2x1x2 + x1x3 + x2x3 = 4 2 = 2.Ainsix31 + x32 + x33 = 4 11 = 7.Algebre
Pages : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73