TD6 Polynomes
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAlgèbre 1 - 2023/2024PolynômesExercice 1. Résoudre les équations suivantes :1. QX2 = X · PX2 d’inconnues P et Q dans CX.2. P ◦P = P d’inconnue P dans CX.3. P ′X2 = 4PXA faire chez soi4. PX2=X2 + 1PX d’inconnue P dans CX.5. PX XP ′X = XExercice 2. Effectuer les division euclidienne de :1.X4 X3 + X 2parX2 2X + 4.2.3X5 + 2X4 X2 + 1parX3 + X + 2.A faire chez soi3.3X5 + 4X2 + 1parX2 + 2X + 34. X5 7X4 X2 9X + 9 par X2 5X + 4A faire chez soiExercice 3. Démontrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondants :1. X 1 X3 2X2 + 3X 2.2. X 2 X3 3X2 + 3X 2.3. X + 1 X3 + 3X2 2.Exercice 4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a; b C2 pour que le polynômeX2 + 2diviseX4 + X3 + aX2 + bX + 2.Exercice 5. Soit a; b C2 tel que a ̸= b et soit P CX.1. Sachant que le reste de la division euclidienne de P par X a est 1 et celui de la division euclidienne deP par X b est 1, quel est le reste de la division euclidienne de P par X aX b ?Pour aller plus loin2. Généralisation : Déterminer le reste de la division euclidienne de P par X aX b en fonction dePa, Pb, a et b.A faire chez soiExercice 6. Déterminer tous les polynômes de R3X divisibles par X 1 et ayant le même reste dans lesdivisions euclidiennes par X 2, X 3 et X 4.R3X = ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 31
Page 2 : Exercice 7. Justifier les divisibilités suivantes :1. Pour tout n N, X2 divise X + 1n nX 1.2. Pour tout n N, X 13 divise nXn+2 n + 2Xn+1 + n + 2X n.Exercice 8. Démontrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 , que l’on déterminera,tel que X 12 divise PX 1 et X + 12 divise PX + 1.A faire chez soiExercice 9. Déterminer tous les polynômes P de R5X tels que X + 23 divise PX + 10 et que X 23divise PX 10Pour aller plus loinExercice 10. Déterminer tous les polynômes de CX divisibles par leur polynôme dérivé.Exercice 11. Montrer que le polynômePX = 1 + X + X22! + · · · + Xnn!ne possède que des racines simples dans C.Exercice 12. Pour quelles valeurs de a R le polynôme P défini par PX = X + 17 X7 a admet-il uneracine multiple réelle.A faire chez soiExercice 13. Déterminer les polynômes P qui vérifient :1. P0 = P1 = P2 = · · · jusqu’à l’infini.2. PX + 1 = PX.3. T R, PX + T = PXExercice 14. Soit le polynôme P = X8 + 2X6 + 3X4 + 2X2 + 1.1. Montrer que j est racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de multiplicité.2. Quelle conséquence peut-on tirer de la parité de P ?3. Décomposer P en facteurs irréductibles dans CX et dans RX.Pour aller plus loinExercice 15. Soit P = anXn + · · · + a0 un polynôme à coefficients entiers tel que a0an ̸= 0. Montrer que sir = pq avec p et q premiers entre eux, est une racine rationnelle de P alors p divise a0 et q divise an.Exercice 16. Soit P =X2 X + 12 + 1.1. Vérifier que i est racine de P.2. En déduire alors la décomposition en produit de facteurs irréductibles de P sur RX3. Factoriser sur CX et sur RX les polynômes suivants en produit de polynômes irréductiblesa R = X6 X5 + X4 X3 + X2 X + 1.b S = X5 13X4 + 67X3 171X2 + 216X 108. on cherchera les racines doubles évidentes de S Indication : Vous pouvez utiliser l’exercice 15.Exercice 17. Dans chacun des cas suivants, factoriser le polynôme P dans CX et dans RX :1. PX = X4 12. PX = X4 + X2 + 12
Page 3 : 3. PX = X6 + 14. PX = X9 + X6 + X3 + 1A faire chez soi5. PX =X2 X + 12 + 16. PX = X8 + X4 + 17. PX = X12 1Pour aller plus loinExercice 18. Soit n N. On considère un réel a fixé et un polynôme P RnX tel que Pa 0 et que :k N, 0 k n,P ka 0Démontrer que P ne s’annule pas sur a, +.Exercice 19. Soit P = X4 5X3 + 9X2 15X + 18 CX. Déterminer toutes les racines complexes de Psachant que deux d’entre elles ont 6 pour produit.Exercice 20. Soit x1, x2, x3 les racines de X3 2X2 + X + 3. Calculer x31 + x32 + x33.3
