TD6 Representation matricielle
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Page 1 : Algèbre 2Préing 12024 – 2025TD6 – Représentation matricielle et changements de base1Matrices représentativesExercice 1. Soient E et E′ des espaces vectoriels de dimension 2 et soient B := e1,e2 et B′ := e′1,e′2des bases de E et E′ respectivement. Soit f : E →E′ l’application linéaire telle que f e1 = 3e′1 + 2e′2 etf e2 = e′1 +e′2.1. Soit x := x1e1 + x2e2 un vecteur quelconque de E. Exprimer f x dans la base B′.2. Notons X =¡ x1x2¢la matrice des coordonnées de x dans la base B et soit Y la matrice des coordonnéesde f x dans la base B′. Écrire une égalité matricielle Y = AX avec A une matrice à déterminer.3. Soit g : E′ →E l’application linéaire dont la matrice représentative dans la paire de bases B′,B estB :=¡1 12 1¢. Soit y := y1e′1 + y2e′2 E′, déterminer l’expression de gy dans la base B.4. Appliquer g au résultat de f x1e1 + x2e2 pour déterminer l’expression de g¡f x1e1 + x2e2¢dans labase B.5. En déduire C, la matrice représentative de l’endomorphisme f ◦g dans la base B. Quelle relation ya-t-il entre les matrices A, B et C ?Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et soit B := e1,e2 une base de E. Soient f et g desendomorphismes de E tels que :f e1 = e1 e2,f e2 = 2e1 +3e2,ge1 = 4e1 +7e2,ge2 = 5e1.1. Déterminer A := MatBf et B := MatBg.2. Déterminer les matrices représentatives de f + g et f ◦g dans la base B.3. Calculer f + g2e1 +e2 et f ◦g2e1 +e2 de deux façons différentes : par un calcul matriciel et parun calcul direct à partir de la définition de f et g.Exercice 3. Déterminer les matrices dans les bases canonique de R2 et R3 des applications linéaires sui-vantes.1. f : R2 →R3 définie par f x, y := x y, 2x, 3x +2y.2. g : R3 →R2 définie par gx, y,z := x y + z, 2x z.3. f ◦g et g ◦f .Exercice 4. Soit f L R2,R3 dont la matrice représentative dans les bases canoniques de R2 et R3 est :A :=123011.Soit g L R3,R2 définie par gx, y,z := x 2y + z, z x.1. Déterminer l’image du vecteur u := 2,3 par f .2. Donner la matrice de g dans les bases canoniques de R3 et R2.3. Les applications f ◦g et g ◦f sont-elles définies? Si oui, donner leurs matrices dans les bases cano-niques.4. Déterminer l’expression analytique de f ◦g.1
Page 2 : Exercice 5. Soit E un espace vectoriel de dimension 4. Soit g un endomorphisme de E dont la matricedans une base B := e1,e2,e3,e4 de E est :M :=1100010120222101.1. Calculer le déterminant de M.2. L’application g est-elle injective?3. Calculer le rang de g.2Changements de baseExercice 6. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et soit B := e1,e2 une base de E. Soient e′1 := e1+e2et e′2 = e1 e2.1. Montrer que B′ := e′1,e′2 est une base de E.2. Soit x := x′1e′1 + x′2e′2 un vecteur quelconque de E exprimée dans la base B′. Déterminer les coordon-nées de x dans la base B.3. Exprimer e1 et e2 en fonction de e′1 et e′2.4. Soit x := x1e1+x2e2 un vecteur quelconque de E exprimé dans la base B. Déterminer les coordonnéesde x dans la base B′.5. Soient X et X ′ les matrices des coordonnées de x dans les bases B et B′ respectivement. Écrire unerelation matricielle entre X et X ′.Exercice 7. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et soit B := e1,e2,e3 une base de E. On considèreles vecteurs :u1 := e1 2e2 +e3,u2 := e1 +3e2 +e3,u3 := e1 +e2 +e3.1. Soit P := MatBu1,u2,u3. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.2. En déduire que B′ := u1,u2,u3 est une base de E et donner l’expression de e1, e2 et e3 dans cettebase.3. Déterminer les coordonnées de u1 +2u2 +3u3 dans la base B.4. Déterminer les coordonnées de e1 +2e2 +3e3 dans la base B′.Exercice 8. On se place dans l’espace vectoriel R2X .1. Rappeler ce qu’est la base canonique de R2X .2. Montrer que B′ := 13X 2,2+ X 5X 2,1+2X est une base de R2X .3. Déterminer la matrice de passage de la base canonique à B′.Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et soit B := e1,e2 une base de E. Soit f L Edont la matrice dans la base B est A :=¡1 21 5¢. Déterminer la matrice de f dans la base :1. B1 := e2,e1.2. B2 := e1 +e2,e1 e2.3. B3 := 2e1 +5e2,e1 3e2.Exercice 10. Soit f : R2X →R2X définie par f P := P +P′.1. Écrire la matrice représentative de f dans la base B := 1, X ,X 2.2. Quel est le rang de f ? L’application f est-elle inversible?3. Déterminer la matrice de passage P de B à la base B′ := 1,2X +1,X 12.4. Déterminer la matrice représentative de f dans la paire de bases B′,B.5. Vérifier que MatB′,Bf = MatBf ×P.2
Page 3 : Exercice 11. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :A :=201111201.1. Déterminer l’expression analytique de f .2. Déterminer des bases de Ker f et Im f .3. On considère les vecteurs u1 := 1,1,2, u2 := 0,1,0 et u3 := 1,0,1.a. Montrer que B′ := u1,u2,u3 est une base de R3.b. Calculer f u1, f u2 et f u3. En déduire la matrice D représentative de f dans la base B′.c. Calculer la matrice P de passage de B à B′, et calculer son inverse.d. Écrire une relation entre A, D, P et P1 et la vérifier.Exercice 12. Soit f L R3 dont la matrice dans la base canonique est :A :=221022112,et soient u1 := 1,1,0, u2 := 1,2,1 et u3 := 1,2,1.1. Montrer que B′ := u1,u2,u3 est une base de R3.2. Calculer f u1, f u2 et f u3 dans la base B puis dans la base B′.3. En déduire la matrice représentative de f dans la base B′.Exercice 13. On se place dans l’espace vectoriel R3X muni de sa base canonique B. Pour tout P R3X ,on pose f P := 1X P′ +3P.1. Montrer que f est un endomorphisme de R3X et déterminer sa matrice A dans la base B.2. Déterminer une base et la dimension de Ker f et Im f .3. Le noyau et l’image de f sont-ils supplémentaires dans R3X ?4. Soient P0 := 1, P1 := 1X , P2 := 1X 2 et P3 := 1X 3. Montrer que B′ := P0,P1,P2,P3 est une basede R3X .5. Détermine la matrice représentative D de f dans la base B′ et calculer Dn pour tout n N.6. Déterminer la matrice de passage de B à B′ et calculer P2. Qu’en déduit-on?7. Déterminer f n pour tout n N.Exercice 14. Dans R3, on considère le plan F d’équation 2x y + z = 0 et la droite D engendrée par levecteur 1,1,1. On note B la base canonique de R3.1.a. Montrer que F et D sont supplémentaires dans R3.b. Déterminer une base u1,u2 de F.c. Posons u3 = 1,1,1; justifier que B′ = u1,u2,u3 est une base de R3.Puisque R3 = F D, alors pour tout vecteur u R3, il existe des uniques vecteurs v F et w D tels queu = v + w. Le vecteur v est appelé le projeté de u sur F parallèlement à D ; on le note pu. On définitainsi une application p : R3 →R3 qui à tout vecteur associe son projeté. L’application p est appelée laprojection sur F parallèlement à D. On admet que c’est une application linéaire. L’objectif de l’exerciceest de calculer l’expression de px, y,z pour tout x, y,z R3.2.a. Si u F, que vaut pu?b. Si u D, que vaut pu?c. En déduire la matrice de p dans la base B′.3.a. Calculer P la matrice de passage de B à B′, ainsi que son inverse.b. En déduire la matrice de p dans la base canonique.3
Page 4 : c. Donner l’expression de px, y,z pour tout x, y,z R3.Exercice 15. Les matrices suivantes sont-elles équivalentes? semblables?A :=123141187,B :=011123211.Exercice 16. Montrer que les matrices suivantes sont semblables.A :=111333222,B :=010000000.Indication : Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A. Si B est la matricede f dans une base u1,u2,u3, chercher une base de Ker f et de Im f en exprimant les vecteurs dans la baseu1,u2,u3.3Un peu de géométrieExercice 17. Soit E un K–espace vectoriel.1. Soient F et G des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Pour tout vecteur u E, il existe ununique couple de vecteurs v,w F ×G tels que u = v + w. Posons p : E →E l’application qui à toutu E associe le vecteur v dans la décomposition précédente, et posons s : E →E l’application qui àtout u E associe le vecteur u v. L’application p est appelée la projection sur F parallèlement à G,et s est appelée la symétrie par rapport à F parallèlement à G.a. Montrer que p et s sont des endomorphismes de E.b. Déterminer Kerp, Imp, Kers idE et Kers +idE.c. Montrer que p ◦p = p et s ◦s = idE.d. Montrer que s = 2p +idE.2. Soit p : E →E une application linéaire telle que p ◦p = p.a. Monter que Kerp et Imp sont supplémentaires dans E.b. En déduire que p est la projection sur Imp parallèlement à Kerp.3. Soit s : E →E une application linéaire telle que s ◦s = idE.a. Montrer que Kers idE et Kers +idE sont supplémentaires dans E.b. En déduire que s est la symétrie par rapport à kers idE parallèlement à kers +idE.Exercice 18. On se place dans C vu comme un R–espace vectoriel et on note B := 1,i une base de C.Soient fθ et gθ les applications de C dans C définies par fθz := eiθ × z et gθz := eiθ × z, où θ R.1. Montrer que fθ et gθ sont des endomorphismes de C.2.a. Déterminer la matrice Rθ représentative de fθ dans la base B.b. Exprimer fθz et argfθz en fonction de z et argz.c. Décrire géométriquement l’application fθ.d. Montrer de deux façons différentes que Rθ ×Rθ′ = Rθ+θ′.3.a. Déterminer la matrice Sθ représentative de gθ dans la base B.b. Déterminer, s’ils existent, des complexes z1 et z2 tels que gz1 = z1 et gz2 = z2.c. Montrer que z1,z2 est une base C et donner la matrice de gθ dans cette base.d. Décrire géométriquement l’application gθ.Exercice 19. Soit E := FR,R l’espace vectoriel des fonctions réelles. On note P l’ensemble des fonctionspaires et I l’ensemble des fonctions impaires.1. Montrer que P et I sont supplémentaires dans E.2. Soit σ: E →E l’application définie par σf x := f x. Montrer que σ est la symétrie par rapport à Pparallèlement à I .4
