TD6
Page 1 : Ondes - TD 6Probleme ILa propagation d’ondes dans divers milieux est decrite par les equations differentiellesuivantes1:aα2t φx, t + 2βtxφx, t + γ2xφx, t = 0,b4t φx, t 4xφx, t = 0,c2t φx, t + α4xφx, t = 0,Euler-Bernouillidc22t φx, t 2xφx, t + m2c2ℏ2 φx, t = 0,Klein-Gordonetφx, t α2xφx, t = 0,Chaleurou on a utilise la notation y y pour y = x, t. Pour chacune de ces equations, donner larelation de dispersion correspondante ainsi que les vitesses de phase et de groupe. Dire sile milieu est dispersif.Probleme IIOn considere une corde tendue selon l’axe des x et fixee en x = 0 et x = L. La propagationd’ondes transversales est decrite par l’equation22t φx, t T4πσ 2xφx, t Y S24πσ 4xφx, t = 0,1ou φx, t est la deformation transversale de la corde, Y est le module d’elasticite de Young,T est la tension dans la corde, S est l’aire transversale de la corde, et σ est sa densitelineique de masse.1. Donner la relation de dispersion, ainsi que les vitesses de phase et de groupe de cesondes.2. Compte-tenu des conditions aux bords, montrer que la solution general de ce systemeest de la forme:ψx, t =Xn=0αn cosωnt + βn sinωnt sinnπL x,2ou ωn ωnπ/L.3. Exprimer les parametres an, bn en termes des conditions initiales ψx, 0 et tψx, 0.1c Deformation d’une poutre fixee a une extremite. d Description quantique d’une particule relativistesans spin. e Propagation de la chaleur dans un materiel.2M. Podlesak, A.R. Lee, Dispersion of waves in piano strings, J. Acoust. Soc. Am. 83 1, 19881
Page 2 : 4. Le Piano La corde est immobile dans sa position d’equilibre, lorsqu’on la frappeavec un petit marteau de largeur ϵ 1, transferant une impulsion non nulle a unepetite partie de la corde situee en x = a + ϵ/2. On suppose alors quetψx, 0 =ua x a + ϵ,0sinon.3a Determiner les coefficients αn, βn en fonctions des donnees du problemes ne pasdevelopper l’expression de ωn.b Trouver une application musicale de la dependance en a des differents coeffi-cients; que faut-il faire pour eliminer le premier harmonique dissonant n = 7?Expliquer en faisant un dessin.c Dans le cas a = L/2, quels sont les harmoniques presents dans le son emis parla corde? Donner ψx, t.5. Le Clavecin La mˆeme corde est a present pincee et lˆachee a t = 0 de maniere a ceque sa vitesse initiale soit nulle, et que sa forme initiale soit donnee parψx, 0 =x Laa0 x a,L xa x L.4a Exprimer les coefficients αn, βn en termes des donnees du probleme.b Pour le cas p = 1, q = 3, comparer l’amplitude des differents modes; quel modea la plus grande amplitude?2
