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Page 1 : E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦7Séries Entièresle 04 janvier 2021Ex.1Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :aX 2n!n!nn znbX3pn3 + n + 2 pn2 + 1zncX n2 + n2n + n! zndXln nnzneXexpn + 1 expn zn;fX1nn + 1n znEx.2On considère l'équation diérentielle E : x2y′′ + 4xy′ + 2 x2y = 1. Oncherche les solutions de E développables en série entière au voisinage de 0,c-a-d les solutions de la forme y : x 7→+Xn=0anxn dénies sur R, R avecR 0.1 Montrer que pour tout n 2, an =an2n + 1n + 2.2 Déduire de la question 1 l'expression de a2p et a2p+1 pour tout entiernaturel p.3 Déterminer le rayon de convergence de la série entière de coecients an,ainsi que son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence.4 Exprimer les solutions obtenues à l'aide de fonctions usuelles.Ex.31 Déterminer le rayon de convergence de :Xxnn + 2n!2 On pose :vnx =xnn + 2n!Calculer la somme Wx, de la série entière P wnx où :wnx =Z x0vntdt1
Page 2 : 3 En déduire la somme V x de la série entière P vnx, puis celle de lasérie numérique :Xn01nn!.1n + 2Ex.4On considère la série entière :Xn1sin 1nxn;x Ra Déterminer le rayon de convergence et étudier la convergence en R, etR.b En notant S la somme de Pn1sin1nxn, étudier la continuité deS.c Montrer que :1 xSx →0 ,quandx →1.Ex.5a Montrer que la série entière ,Xn21n ln n xn;est de rayon R = 1. On note S sa somme.b Montrer que x 1, 1,Sx =11 + x+Xn=11n+1 ln1 + 1nxn+1c En déduire queSx →12+Xn=11n+1 ln1 + 1nquandx →1d Calculer :+Xn=11n+1 ln1+ 1n;en déduire que : Sx →12 ln π2quandx →1.Ex.6En utilisant la série entière de terme général : 1nxn, déterminer lasomme de la série numérique :Xn=01nn + 12
Page 3 : Ex.7Calculer la somme de la série :1 ++Xn=11n x4n14nEx.8Soit f la fonction dénie sur R 1 par :fx = ex1 + x1 Calculer les coecients annN du D.S. en série entière de f. Etudier lasuite annN.2 Quel est le rayon de convergence de la série entière :Xanxn ?Ex.9Déterminer le dévelop. en série entière en 0 et donner le rayon de convergencecorrespondant , pour les fonctions :1f1x = lnr1 + x1 x2f2x = arctan1 x21 + x23f3x =x2 x + 2x4 5x2 + 44f4x =r1 + x1 x3
