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Page 1 : Ondes - TD 6Probleme IOn etudie la propagation d’ondes sonores dans un tuyau cylindrique rempli d’air, d’axeOx, qui s’etend du point x = 0 ou point x = L. On suppose que Px, t, la variation de lapression par rapport a la pression atmospherique, obeit a l’equation suivante:ργp2t2 Px, t 2x2 Px, t = 0,1ou ρ est la densite volumique de l’air, γ est l’indice adiabatique de l’air, et p la pressionatmospherique.1. Donner la relation de dispersion pour ces ondes, de mˆeme que leur vitesse de phaseet de groupe.2. En supposant que le tuyau est ouvert aux deux extremites, et donc que PL, t =P0, t = 0, donner les modes propres du systeme. Quelle est la longueur d’ondeminimale qu’une onde se propageant dans ce tube peut avoir?3. On suppose maintenant qu’un musicien souffle dans le tube a l’extremite x = 0,produisant la conditionP0, t = P0 sinω0t,2ou ω0 n’est pas une pulsation propre du systeme. Donner alors l’expression generalepour la pression dans le tuyau.4. Que ce passe-t-il dans la limite ou ω0 tend vers une des pulsations propres du tuyau?Donner une interpretation physique du resultat.Probleme IIOn considere un tuyau comme celui dans le probleme precedent, mais qui est equiped’un dispositif nous permettant de faire varier la longueur du tube. On suppose que letuyau contient initialement une ondeφx, t = sinπL x/L cosωt,x 0, L.3A t = 0, on allonge brutalement le tuyau, de sorte que les bords sont maintenant en x = 0et x = 2L. Donner l’expression de l’onde ψx, t dans ce nouveau tuyau pour t 0.Probleme IIIOn considere une corde tendue le long de l’axe des x, dont la densite lineique de massevarie selon x:µx =µ1x yµ2y x.4Sur chaque segment de corde, les petites deformations transversales de la corde ψx, tobeissent a l’equation d’onde suivante:µxT02t2 ψx, t 2x2 ψx, t = 0,51
Page 2 : ou µx est la densite lineique de masse et T0 la tension dans la corde. On suppose unesolution de la formeψx, t =A1eik1c1tx + B1eik1c1t+xx yA2eik2c2tx + B2eik2c2t+xy x,6avec c2j = T0/µj.1. En utilisant la continuite des fonctions ψx, t et ψx,tx, obtenir une equation ma-tricielle de la formeM1 A1B1= M2 A2B2,7avec M1, M2 des matrices 2 par 2 a determiner. Poser α = eik1y, et β = eik2y afinde simplifier les expressions.2. En utilisant le resultat suivant:abcd1=1ad bcdbca,8calculer le produit M 11 M2.3. Pour le cas particulier y = 0, B2 = 0, exprimer B1/A1 et A2/A1 en termes de lavitesse de phase sur les deux parties de la corde.2
