TD8 Representation matricielle
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Page 1 : Cycle Pre-INGPremiere AnneeAlgebre II - 2021/2022TD : Representation matricielle et changement debasesExercice 1Determiner les matrices, dans les bases canoniques, des applicationslineaires suivantes :1. f : R2 →R3; fx, y = x y, 2x, 3x + 2y.2. g : R3 →R2; gx, y, z = x y + z, 2x z3. f ◦g et g ◦f.Exercice 21. Donner la matrice de l’application lineaire f : R3 →R3 donneepar fx, y, z = x + 2y z; 2x + 3y 3z; x + y 2z dans la basecanonique.2. Determiner Imf, Kerf et leurs bases.3. Montrer que 1, 1, 0; 0, 1, 1; 1, 1, 1 est une base de R3 et don-ner la matrice de f dans cette base.Exercice 3Soit f LR2; R3 et A sa matrice dans les bases canoniques de R2 etR3 ou :A =123011Soit g LR3; R2 definie par gx, y, z = x 2y + z; z x.1. Quelle est l’image du vecteur u = 2; 3 par f ?2. Donner la matrice de g dans les bases canoniques de R3 et R2.3. Les applications lineaires f ◦g et g ◦f sont-elles definies ? Si oui,donner leurs matrices dans les bases canoniques.4. Etablir l’expression analytique de f ◦g.Exercice 4Soit g une endomorphisme de R4 et on considere la matrice M =1100010120222101de g dans la base canonique de R4.
Page 2 : 1. Calculer detM.2. g est-elle injective ?3. Calculer le rang de M.Exercice 5Soit f un endomorphisme de R3 et on considere A la matrice de f dansla base canonique Bc de R3 :A =1011111011. Determiner l’expression analytique de f.2. Determiner une base du noyau et une base de l’image de f.3. On considere les vecteurs u1 = 1, 1, 1, u2 = 1, 0, 0, u3 = 1, 0, 1de R3.a Montrer qe B′ = u1, u2, u3 est une base de R3b Determiner la matrice D de f dans la base B′.c Ecrire la matrice de passage P de la base Bc a la base B′.d Donner la relation entre A, D, P et P 1.e Calculer P 1.Exercice 61. Expliquer pourquoi toute application lineaire de R2 dans R3 n’estpas surjective.2. Expliquer toute application lineaire de R3 dans R2 n’est pas in-jective.3. Calculer le rang de124824816124824816.Exercice 7Soit f l’application definie par :f:R3→R3x, y, z7→2x + y + z, x, y + z1. Ecrire la matrice A de f dans la base canonique Bc de R3.2. Determiner une base du noyau et une base de l’image de f.3. On considere les vecteurs u1 = 1, 1, 1, u2 = 1, 0, 0, u3 = 0, 1, 1de R3.
Page 3 : a Montrer que B′ = u1, u2, u3 est une base de R3.b Determiner la matrice D de f dans la base B′.c Ecrire la matrice de passage P de la base Bc a la base B′.d Donner la relation entre A, D et P.e Calculer P 1.Exercice 8SoitA =201022112et soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canoniqueest A.1. Montrer que B′ = u1; u2; u3 est une base de R3 avec u1 =1; 1; 0, u 2 = 1; 2; 1, u3 = 1; 2; 1.2. Donner la matrice de passage P de la base canonique vers la baseB′.3. Determiner la matrice de passage de la base B′ vers la base ca-nonique.4. Calculer la matrice de f dans la base B′.5. Calculer fu1, fu2, fu3 dans la base canonique, puis dans labase B′.6. Retrouver la matrice de f dans la base B′.Exercice 9Soit B = 1 3X2; 2 + X 5X2; 1 + 2X.1. Verifier que B est une base de R2X.2. Determiner la matrice de passage de la base canonique 1; X; X2vers la base B.Exercice 10Soit E = R2X. Pour tout P E, soit fP = X2 + X + 1P ′′ +X2P ′ 2XP.1. Montrer que pour tout P E, fP E.2. Montrer que f est un endomorphisme de E.3. Determiner la matrice de f dans la base canonique de E.4. L’application f est-elle un isomorphisme de E ? Justifier.5. Soit B = X; X2; X2 + X + 1. Montrer que B est une base de Epuis donner la matrice de f dans B.Exercice 11Soit E = R3X rapporte a sa base canonique Bc. Pour P E, on posefP le polynˆome tel que fPX = 1 XP ′X + 3PX.
Page 4 : 1. Montrer que f LE et determiner sa matrice A dans la baseBc.2. Donner une base et la dimension de kerf, ℑf.3. Le noyau et l’image de f sont-ils supplementaires dans E ?4. Soit P0 = 1, P1 = 1 X, P2 = 1 X22 et P3 = 1 X3.Montrer que B = P0; P1; P2; P3 est une base de E.5. Donner la matrice A′ de f dans la base B et calculer A′n pourtout n N.6. Determiner la matrice de passage P de Bc a B puis effectuer leproduit P × P. Que peut-on en deduire ?7. Determiner f nExercice 12Soit f : R3 →R3 l’application lineaire definie, pour tout x, y, z de R3,parfx, y, z = 17x 28y + 4z, 12x 20y + 3z, 16x 28y + 5z.1. Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3.2. Determiner une base B1 du noyau de f .3. Soit F = u R3 fu = u l’ensemble des vecteurs invariants parf . Montrer que F est un espace vectoriel et determiner une baseB2 de F.4. Montrer que les deux espaces precedents sont supplementairesdans R3.5. Ecrire la matrice de f dans la base B = B1 B2 de R3.Exercice 13Montrer que les matrices A et B suivantes sont semblables :A =111333222B =010000000Exercice 141. Verifier que les matrices A et B suivantes sont semblables :A = 0181B = 161232152. Determiner toutes les matrices P telles que B = P 1AP.
