TD8 Representation matricielle
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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024TD8 : Representation matricielleet changement de basesExercice 1Determiner les matrices, dans les bases canoniques, des applications lineaires suivantes:1. f : R2 →R3;fx, y = x y, 2x, 3x + 2y2. g : R3 →R2;gx, y, z = x y + z, 2x z3. f ◦g et g ◦fExercice 21. Donner la matrice de l’application lineaire f : R3 →R3 donnee parfx , y , z = x + 2y z ; 2x + 3y 3z ; x + y 2zdans la base canonique.2. Determiner Imf, Kerf et leurs bases.3. Montrer que 1 , 1 , 0 ; 0 , 1 , 1 ; 1 , 1 , 1 est une base de R3 et donner la matrice de fdans cette base.Exercice 3Soit f LR2 ; R3et A sa matrice dans les bases canoniques de R2 et R3 ou :A =123011Soit g LR3 ; R2definie par gx , y , z = x 2y + z ; z x.1. Quelle est l’image du vecteur u = 2 ; 3 par f?2. Donner la matrice de g dans les bases canoniques de R3 et R2.3. Les applications lineaires f ◦g et g ◦f sont-elles definies? Si oui, donner leurs matricesdans les bases canoniques.4. Etablir l’expression analytique de f ◦g.1
Page 2 : Exercice 4Soit g une endomorphisme de R4 et on considere la matriceM =1100010120222101Soit M la matrice de g dans la base canonique de R4.1. Calculer detM2. g est-elle injective?3. Calculer le rang de M.Exercice 5Soit f un endomorphisme de R3 et on considere A la matrice de f dans la base canonique de :A =1011111011. Determiner l’expression analytique de f.2. Determiner une base du noyau et une base de l’image de f.3. On considere les vecteurs u1 = 1, 1, 1, u2 = 1, 0, 0, u3 = 1, 0, 1a Montrer que B′ = u1, u2, u3 est une base de R3.b Determiner la matrice D de f dans B′.c Ecrire la matrice de passage P de la base canonique B a la base B′.d Donner la relation entre A, D, P et P 1.e Calculer P 1.Exercice 61. Expliquer pourquoi toute application lineaire de R2 dans R3 n’est pas surjective.2. Expliquer toute application lineaire de R3 dans R2 n’est pas injective.3. Calculer le rang de1248248161248248162
Page 3 : Exercice 7Soit f l’application definie parf : R3 →R3x, y, z 7→2x + y + z, x, y + z1. Ecrire la matrice A de f dans la base canonique.2. Determinier une base du noyau et de l’image de f.3. On considere les vecteurs u1 = 1, 1, 1, u2 = 1, 0, 0, u3 = 1, 0, 1a Montrer que B′ = u1, u2, u3 est une base de R3.b Determiner la matrice D de f dans B′.c Ecrire la matrice de passage P de la base canonique B a la base B′.d Donner la relation entre A, D, P et P 1.e Calculer P 1.Exercice 8SoitA =201022112;u1 = 1, 1, 0;u2 = 1, 2, 1;u3 = 1, 2, 1Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A.1. Montrer que B′ = u1 ; u2 ; u3 est une base de R3.2. Donner la matrice de passage P de la base canonique vers la base B′.3. Determiner la matrice de passage de la base B′ vers la base canonique.4. Calculer la matrice de f dans la base B′.5. Calculer fu1, fu2, fu3 dans la base canonique, puis dans la base B′.6. Retrouver la matrice de f dans la base B′.Exercice 9Soit B =1 3X2 ; 2 + X 5X2 ; 1 + 2X1. Verifier que B est une base de R2X.2. Determiner la matrice de passage de la base canonique1 ; X ; X2vers la base B.3
Page 4 : Exercice 10Soit E = R2X. Pour tout P E, soit fP = X2 + X + 1P ′′ + X2P ′ 2XP.1. Montrer que pour tout P E, fP E.2. Montrer que f est un endomorphisme de E.3. Determiner la matrice de f dans la base canonique de E.4. L’application f est-elle un isomorphisme de E? Justifier.5. Soit C =X ; X2 ; X2 + X + 1. Montrer que C est une base de E puis donner la matricede f dans C.Exercice 11Soit E = R3X rapporte a sa base canonique B. Pour P E, on pose fP le polynˆome telque fPX = 1 XP ′X + 3PX.1. Montrer que f LE et determiner sa matrice A dans la base B.2. Donner une base et la dimension de Kerf, Imf.3. Le noyau et l’image de f sont-ils supplementaires dans E?4. Soit P0 = 1, P1 = 1X, P2 = 1X2 et P3 = 1X3. Montrer que B′ = P0 ; P1 ; P2 P3est une base de E.5. Donner la matrice A′ de f dans la base B′ et calculer A′n pour tout n N.6. Determiner la matrice de passage P de B a B′ puis effectuer le produit P × P. Quepeut-on en deduire?7. Determiner fn.Exercice 12Soit f : R3 →R3 l’application lineaire definie parfx, y, z = 17x 28y + 4z, 12x 20y + 3z, 16x 28y + 5z1. Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3.2. Donner la base B1 du noyau de f.3. Soit F = u R3fu = u l’ensemble des vecteurs invariants par f. Montrer que F estun espace vectoriel et determinier une base B2 de F.4. Montrer que les deux espaces precedents sont supplementaires dans R3.5. Ecrire la matrice de f dans la base B = B1 B2.Exercice 13Montrer que les matrices A et B suivantes sont semblables :A =111333222B =0100000004
Page 5 : Exercice 141. Verifier que les matrices A et B suivantes sont semblables :A =0181B = 161232152. Determiner toutes les matrices P telles que B = P 1AP.5
