TD8
Page 1 : Ondes - TD 8Probleme ISoit le champs de vectoriel:⃗Ar, θ, φ, t = sinθr"coskr ωt z u 1kr sinkr ωtˆφ,1ou ω = kc, et qui satisfaˆıt l’equation d’onde vectorielle:1c22t2 ⃗Ar, θ, φ, t 2 ⃗Ar, θ, φ, t = 0,2ou 2 est le laplacien vectoriel, 2 ⃗A = ⃗⃗· ⃗A⃗×⃗× ⃗A. On rappelle l’expressiondes differentes operateurs differentiels en coordonnees spheriques:⃗f = fr ˆr + 1rfθˆθ +1r sin θfφˆφ,3⃗· ⃗A = 1r2rr2Ar +1r sin θθAθ sin θ +1r sin θφAφ,4⃗× ⃗A =1r sin θ θAφ sin θ φAθˆr + 1r 1sin θφAr rrAφˆθ5+ 1r rrAθ θArˆφ.6a Calculer la divergence ⃗· ⃗Ar, θ, φ, t et le rotationnel ⃗× ⃗Ar, θ, φ, t.b Calculer ensuite ⃗⃗· ⃗Ar, θ, φ, t et ⃗× ⃗× ⃗Ar, θ, φ, t.c Montrer que le champ vectoriel 10 satisfaˆıt bien l’equation d’onde vectorielle2.Probleme IIOn considere un materiel de conductivite σ, de permittivite ϵ0 et de permeabiliteµ0, sans charges ni courants libres.a Montrer, a partir des equations de Maxwells, que les champs ⃗E et ⃗B doiventsatisfaˆıre les equations:1c22t2 ⃗E + µ0σ t⃗E 2 ⃗E = 0,71
Page 2 : 1c22t2 ⃗B + µ0σ t⃗B 2 ⃗B = 0.8b Montrer qu’une onde plane ⃗E⃗r, t = ⃗E0eiωt⃗k·⃗r, avec ⃗E0, ⃗k des vecteurs con-stants, est une solution de l’equation 7 si et seulement⃗k · ⃗k = ω2c2 iµ0σω.9c On pose ⃗k = kei φ2 ˆu, avec ˆu un vecteur unitaire, k, φ deux nombres reels. Ex-primer alors k et φ en fonction des donnees du probleme.Probleme IIIOn considere une onde electromagnetique incidente sur un materiel de conductiviteσ, de permittivite ϵ0 et de permeabilite µ0, sans charges ni courants libres. On sup-posera que le materiel remplie la partie x 0 de l’espace, et que l’exterieur du materielest vide. On supposera de plus que l’onde incidente est de la forme⃗E = ⃗Eieiωt⃗ki·⃗r,avec le vecteur d’onde ⃗ki = ki cos θˆux + ki sin θˆuy.a Soient θR et θT, les angles entre l’axe des x et la direction de propagation del’onde reflechie, et de l’onde transmise, respectivement. Exprimer θR et θt enfonction des donnees du probleme. Montrer que si θ ̸= 0, alors θt /R.b En supposant que ⃗Ei soit dans le plan XY , exprimer l’amplitude de l’ondereflechie et de l’onde transmise en fonction des donnees du probleme.Probleme IVSoit l’onde electromagnetique decrite par le champ electrique:⃗Ex, y, z, t = E0 ˆx + iˆy2eiωtkz10ou ω = kc.a Le vecteur de Poynting ⃗S = µ10 Re ⃗E × Re ⃗B decrit entre autres la densited’energie et d’impulsion transportees par l’onde. Donner le vecteur de Poyntingpour l’onde decrite par l’equation 10.2
Page 3 : b Calculer la densite d’energie electromagnetique contenue dans cette onde.c Comparer ces resultats avec ceux pour une onde polarisee en x, c’est a dire⃗Ex, y, z, t = E0ˆxeiωtkz.11Verifier que cette onde respecte la conservation de l’energie electro-magnetique:tEEM + ⃗· ⃗S = 0.12Probleme VUn guide d’onde est un tube ou un conduit dont les parois sont considerees commedes conducteurs parfaits, utilises pour diriger des ondes electromagnetiques dans unedirection particuliere, ou pour empˆecher certaines ondes de traverser une ouverture.On considere ici un guide d’onde de section rectangulaire, de cˆote a et b:yxab13Sur les bords du guide, on doit avoir ⃗B · ˆn = 0, et ⃗E × ˆn = 0, avec ˆn la normale a lasurface. Si on suppose une onde de la forme⃗E = ⃗E0x, yeikzωt,⃗B = ⃗B0x, yeikzωt,14les equations de Maxwell imposent alorsEx =iω/c2 k2kEzx + ωBzy,Ey =iω/c2 k2kEzy ωBzx15Bx =iω/c2 k2kBzx ωc2Ezy,By =iω/c2 k2kBzy + ωc2Ezx,16ainsi queEyx Exy = iωBz,Byx Bxy = iωc2 Ez.173
Page 4 : a En supposant que Bz = 0, montrer alors que l’equation 17 se reduit alors a2Ez2x + 2Ez2y = k2 ω/c2Ez.18b En utilisant la methode de la separation des variables, poser Ez = FxGy etmontrer que l’equation 18 se reduit alors au systeme d’equations aux deriveesordinaires:1F F ′′ = k2x,1GG′′ = k2y.19Donner les conditions aux bords satisfaites par les fonctions F et G.c Montrer qu’il y a une pulsation minimale ωc telle que si ω ωc alors Rek = 0,i.e. il n’y pas de propagation dans le guide. Exprimer cette pulsation critique entermes des donnees du probleme.d Montrer que si ω ωc, alors la vitesse de phase de l’onde est plus grande que lavitesse de la lumiere.4
