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Page 1 : CY Cergy Paris Universite2023 – 2024CY TechPreIng 1Travaux diriges deMecanique du pointCe document est disponible sur Teams.— 1/19 —
Page 2 : ContactEnseignant charge du cours magistral CERGY : Fabien PIGUETBureau : Site du Parc - CAU 308E-mail : fabien.piguet@cyu.frL’equipe pedagogiqueCERGYTDPanayotis AKRIDAS-MORELpanayotis.akridas-morel@cyu.frTDAbdelaziz BOUMIZabdelaziz.boumiz@cyu.frTDEmilie DUPONTemilie.dupont@cyu.frCM & TDFabien PIGUETfabien.piguet@cyu.frPAUCM & TDLucie DESPLATlucie.desplat@cyu.frPaul FRUTONpaul.fruton@cyu.fr— 2/19 —
Page 3 : Bibliographie1 A. DOUILLET, C. EVE-BEAUDOIN, N. LEBRUN, N. LIDGI-GUIGUI, andN. VERNIER, Physique.DUNOD, 2017.2 C. GARING and A. LHOPITAL, Les 1001 questions de la Physique en Prepa -PCSI.Ellipses, 2019.3 S. CARDINI, D. JURINE, and M.-N. SANZ, Tout-en-un de Physique, option PCSI,5th ed., B. SALAMITO, Ed.DUNOD, 2019.4 B. LAMINE, Meca, le livre qu’il vous faut pour enfin comprendre la Mecanique.DUNOD, 2019.5 E. HECHT, Physique.DE BOECK Superieur, 1999.6 J.-P. PEREZ, Mecanique - Fondements et applications.DUNOD, 2001.7 T. NGUYEN, “TD de Mecanique du point - EISTI,” 2019.8 P. AKRIDAS-MOREL and L. DESPLAT, “TD de Mecanique du point - CYU,”2021-2022.9 G. ROLLET, “TD de Panorama sur la Physique - CYU,” 2022-2023.10 C. PINETTES, “TD de Phenomenes de transport - CYU,” 2022-2023.— 3/19 —
Page 4 : Table des matieres1Cinematique suite52Forces et etat d’equilibre73Equations du mouvement 2114Equations du mouvement 3135Problemes166Equations du mouvement 418— 4/19 —
Page 5 : 1Cinematique suiteExercice 1 –Dans un referentiel R, on considere le repere cartesien O; »u x, »u y et le repere polaireO; »u r, »u θ.1. Exprimer les vecteurs de la base polaire en fonction des vecteurs de la basecartesienne.2. Dans R, calculer la derivee temporelle des vecteurs de la base cartesienne.3. Dans R, calculer la derivee temporelle des vecteurs de la base polaire.Exercice 2 – Vecteurs vitesse et acceleration en coordonnees polairesDans cet exercice, on conserve les notations et le referentiel de l’exercice 1.1. En mecanique on decrit le mouvement d’un systeme au cours du temps par rapporta un referentiel.Quelle grandeur joue le rˆole de variable ?Quelles grandeurs physiques, fonctions de cette variable, permettent de decrire lemouvement du systeme ?2. Rappeler les definitions des vecteurs vitesse instantanee »v et acceleration instan-tanee »a en fonction du vecteur position »r = »OM.3. Exprimer »OM dans les deux systemes de coordonnees.4. Exprimer »v dans les deux systemes de coordonnees et verifier la coherencedimensionnelle des differents termes.5. Exprimer »a dans les deux systemes de coordonnees et verifier la coherencedimensionnelle des differents termes.Exercice 3 – Etude d’un vinyleEn 1948, Columbia Records presse le premier disque microsillon en vinyle. Dans lereferentiel lie au tourne-disque dans lequel on se place, ce disque a un mouvementcirculaire uniforme de vitesse de rotation ˙θ0 = 33,3 tours · min1. Il sera denomme « 33tours ». Le rayon d’un tel disque est R = 30 cm.1. En Physique, quel autre nom donne-t-on a la vitesse de rotation ?Donner sa dimension physique, et son unite SI.2. Calculer la vitesse de rotation du disque en unites SI.3. Calculer la periode de rotation T du disque puis sa frequence f.— 5/19 —
Page 6 : 4. La vitesse d’un point du disque depend-elle de sa distance r par rapport au centredu disque ?5. Calculer la vitesse d’un point situe sur le bord exterieur du disque, et d’un pointsitue a r = 5 cm du centre du disque.Exercice 4 – Face cachee de la LuneDans le referentiel geocentrique Rg, le centre de la Lune effectue des revolutions circulairesuniformes de rayon RTL = 3,84×105 km et de periode T = 27 jours, 7 heures, 43 minutes.Au cours de son mouvement, la Lune montre toujours la mˆeme face a la Terre. Onconsiderera que l’axe de rotation de la Lune sur elle-mˆeme est perpendiculaire a son plande revolution autour de la Terre.1. Definir le referentiel geocentrique.2. Determiner les vecteurs vitesse »v et acceleration »a du centre de la Lune dans Rg.Calculer »v .3. Quel est le mouvement d’un point de la surface de la Lune dans Rg ?Determiner la vitesse angulaire de rotation de la Lune sur elle-mˆeme.4. Dans le referentiel selenocentrique Rs analogue de Rg pour la Lune, quel est lemouvement du centre de la Terre ?Exercice 5 – Acceleration d’un objet a la surface de la TerreEn raison du mouvement de rotation de la Terre sur elle-mˆeme, tous les points de sasurface ont un mouvement circulaire uniforme dans le referentiel geocentrique Rg danslequel on se place.1. Determiner l’acceleration radiale ici centripete d’un tel point situe a la latitudeλ. Calculer cette acceleration a l’equateur, et pour λ = 60◦.2. Par quel facteur α faudrait-il multiplier la vitesse de rotation actuelle de la Terrepour que l’acceleration centripete a l’equateur devienne egale a l’acceleration depesanteur terrestre actuelle g = 9,8 m · s2 ?Que vaudrait alors le poids d’un objet a l’equateur ?— 6/19 —
Page 7 : 2Forces et etat d’equilibreDonneesConstante de gravitation universelle : G = 6,67 × 1011 N · m2 · kg2Intensite de la pesanteur terrestre : gT = 9,8 m · s2Permittivite du vide : ε0 = 8,85 × 1012 F · m1Charge elementaire e = 1,6 × 1019 CMasses :— Soleil MS = 1,987 × 1030 kg— Terre MT = 5,975 × 1024 kg— Lune ML = 7,35 × 1022 kg— proton mp = 1,7 × 1027 kg— electron me = 9,1 × 1031 kgDistances :— Soleil–Terre dST = 1,495 × 1011 m— Terre–Lune dTL = 3,844 × 108 mGeneralites sur les forcesExercice 1 – Force d’interaction gravitationnelle1. Determiner la dimension physique de la constante de gravitation universelle, puisses unites a l’aide des unites fondamentales du Systeme International.2. Comparer l’attraction gravitationnelle qu’exerce la Terre sur la Lune a celle duSoleil sur la Lune.3. Deux spheres identiques, dont les centres sont distants de d = 1,0 m, eprouventune force de gravitation mutuelle de norme F = 1,0 N. Calculer la masse m dechacune des spheres.Exercice 2 – Force d’interaction gravitationnelle et poidsDans cet exercice, on approxime l’acceleration de pesanteur a l’acceleration gravitation-nelle.1. Que deviendrait le poids terrestre PT d’un objet, si sa masse m et sa distance dau centre de la Terre etaient doublees ?— 7/19 —
Page 8 : 2. L’acceleration de pesanteur sur Mars est gM = 3,7 m · s2. Sachant que le diametrede cette planete est dM = 6,8 × 103 km, determinez sa masse MM.Exercice 3 – Forces entre un proton et un electronL’atome d’hydrogene est constitue d’un proton et d’un electron.Comparer les forces d’interaction gravitationnelle et electrostatique entre ces deux parti-cules.Exercice 4 – Force de rappel elastique1. Rappeler l’expression de la force de rappel elastique exercee par un ressort sur unobjet fixe a son extremite et expliquer les differents termes.2. Pour chacun des cas 1 a 5 de la figure 2.1, exprimer la force de rappel elastique »Fexercee par le ressort sur le point M en fonction de : la raideur k du ressort, salongueur a vide l0, la position du point M, la position du point H et d’un vecteurunitaire.3. Pour le cas 6, exprimer les forces exercees par les deux ressorts sur chacun despoints M1 et M2. Le ressort de gauche est caracterise par k, l0 et celui de droitepar k′, l′0.Figure 2.1 Exercice 4— 8/19 —
Page 9 : Etat d’equilibreExercice 5 – Questions preliminairesDefinir l’etat d’equilibre d’un point materiel en termes de forces exercees sur ce point.Quel est alors le mouvement du point par rapport a un referentiel galileen ?Exercice 6 –Dans le champ de pesanteur terrestre, un ressort de masse negligeable, de constante deraideur k et de longueur a vide l0 est en position verticale. On pose sur celui-ci un blocde masse m. A l’equilibre, exprimer la variation de la longueur du ressort en fonction dem, k et g.Exercice 7 –Une personne de masse m = 80 kg est allongee dans un hamac suppose sans masse etaccroche entre deux arbres comme represente sur la figure 2.2. On etudie le systemehomme + hamac.1. Identifier les forces exterieures appliquees au systeme.2. Donner la condition pour que le systeme soit a l’equilibre et determiner alors lanorme des differentes forces.Figure 2.2 Exercice 7. Figure issue de 1Exercice 8 –Dans le champ de pesanteur terrestre, un bloc de masse m est pose sur un plan inclineformant un angle α avec l’horizontale.1. En l’absence de frottements, quelles forces s’appliquent sur le bloc ? Faire unschema et un bilan detaille.2. On suppose a present qu’il existe des frottements entre le bloc et la surface.Montrer que le bloc reste a l’equilibre tant que tan α µ, ou µ est un coefficientde frottement solide entre le bloc et la surface.— 9/19 —
Page 10 : Exercice 9 – Poussee d’ArchimedeDans cet exercice, on neglige la poussee d’Archimede due a l’air comparee a celle due aun liquide.1. La piscine de Conflans-Sainte-Honorine est dotee d’une fosse de plongee cylindriquede diametre d = 7 m, remplie initialement d’une hauteur h = 20 m d’eau. Unplongeur de masse m = 85 kg entre dans l’eau et s’y trouve a l’equilibre. Calculerla variation h de la hauteur d’eau dans la fosse.2. On considere un iceberg de volume V et de masse volumique ρg = 0,917 kg · L1flottant sur la mer de masse volumique ρs = 1,025 kg · L1.2.a Determiner le volume immerge Vi de l’iceberg en fonction de V , ρg et ρs.2.b En supposant l’iceberg de section horizontale S uniforme, calculer sa hauteurimmergee hi pour une hauteur emergee he = 30 m.3. Initialement, un gla¸con flotte dans un verre d’eau rempli a ras bord. Puis le gla¸confond completement.3.a Le verre deborde-t-il ?3.b Mˆeme question en ne negligeant pas la poussee d’Archimede due a l’air.3.c Mˆeme question en negligeant la poussee d’Archimede due a l’air, et enrempla¸cant l’eau liquide par un liquide de masse volumique plus faible.— 10/19 —
Page 11 : 3Equations du mouvementhors-eq/eq : »pExercice 1 – Un classique : le tir paraboliqueDans le champ de pesanteur terrestre ⃗g, un projectile ponctuel P de masse m est lancedu point O avec une vitesse »v0 faisant un angle α0 0; π2avec l’horizontale Ox. Onnote Oz la verticale ascendante. On se place dans le referentiel terrestre approximegalileen, lie a O; »u x, »u z. On neglige les forces de frottements dans l’air.1. Determiner les equations horaires du mouvement, puis l’equation de la trajectoirede P.2. Exprimer la hauteur maximale h atteinte par le projectile en fonction de g = »g ,v0 = »v0et α0. Que vaut l’acceleration du projectile en ce point ?3. A quelle distance d du point de depart atterrit le projectile ?4. Pour v0 fixee, montrer qu’il existe un autre angle possible α′0 pour atteindre lamˆeme distance d. Preciser cet angle.5. Determiner α0 tel que d soit maximale.Exercice 2 – Vitesse de sedimentationPour mettre en evidence un syndrome inflammatoire rhumatisme, infection, . . ., un exa-men biologique courant du sang consiste a mesurer la vitesse de sedimentation des globulesrouges dans le plasma partie liquide du sang en pla¸cant le sang dans un tube verti-cal. L’objectif de l’exercice est de determiner la vitesse de sedimentation d’un patient sain.Le globule est assimile a une sphere de rayon RG = 3,5 µm. Il est soumis a une force defrottement visqueux »F de la part du plasma telle que :»F = 6πηRG»v Gou »v G est la vitesse du globule.Donnees— viscosite du plasma : η = 1,6 × 103 SI ;— masse volumique du globule rouge : ρG = 1,3 g/cm3 ;— masse volumique du plasma : ρP = 1,03 g/cm3 ;— intensite de pesanteur terrestre : g = 9,81 m · s2.1. Force de frottement fluide1.a Determiner la dimension physique puis les unites SI de la viscosite η.— 11/19 —
Page 12 : 1.b Quelle hypothese concernant la force de frottement a ete faite ?2. Effectuer un bilan des forces s’exer¸cant sur le globule.3. Apres avoir rappele le referentiel utilise, determiner l’equation du mouvement duglobule pour la variable vG.4. Resolution de l’equation du mouvement4.a A partir d’une analyse dimensionnelle des differents termes de l’equation,montrer que l’on peut faire apparaˆıtre un temps caracteristique τ et unevitesse caracteristique v.4.b Reecrire l’equation du mouvement a l’aide de ces deux grandeurs caracteris-tiques puis identifier mathematiquement cette equation.4.c Resoudre l’equation homogene ou equation sans second membre. La solutionobtenue est appelee solution generale.4.d Determiner une solution particuliere de l’equation du mouvement.4.e Etant donne la situation, quelle condition initiale sur la vitesse du globuleest-il raisonnable de choisir ?4.f Determiner la solution complete de l’equation du mouvement.5. Tracer qualitativement le graphe de la vitesse en fonction du temps.6. Decrire le mouvement du globule dans le referentiel considere.7. Calculer la vitesse de sedimentation du globule c’est-a-dire lorsque l’etat d’equi-libre est atteint en mm · h1. L’hypothese sur les forces de frottement est-ellelegitime ?8. Donner un ordre de grandeur de la duree t necessaire pour atteindre l’equilibre.Exercice 3 – Mouvements circulaires d’une bille attachee1. Une bille assimilee a un point materiel M de masse m = 20 g est reliee a un axe derotation vertical par deux fils de mˆeme longueur ℓ= 50 cm. Les points d’attacheO1 et O2 sur cet axe vertical sont distants d’une longueur D = 60 cm. Dans lereferentiel terrestre approxime galileen et lie a , la bille tourne a vitesse angulaireconstante ω = 16 rad · s1.1.a En supposant que les fils restent tendus, determiner les forces de tension »T 1et »T 2 de chacun des deux fils en fonction de D, ℓ, m, ω et g.1.b A quelle condition sur ω les fils restent-ils tendus ?2. La bille est maintenant reliee a l’axe par un ressort de raideur k = 30 N · m1et de longueur a vide ℓ0 = 5,0 cm. Elle decrit toujours une trajectoire circulairedans un plan perpendiculaire a a vitesse angulaire ω constante. Le ressort aune longueur ℓet fait un angle α avec l’axe .2.a Exprimer la force »F exercee par le ressort dans la base de coordonneescylindriques.2.b Etablir la relation entre ω, α, g et ℓ.2.c En deduire ℓ, »F et α.— 12/19 —
Page 13 : 4Equations du mouvementhors-eq/eq : EExercice 1 – LocomotiveDans le referentiel d’etude, on considere le mouvement uni-dimensionnel suivant :au cours d’une premiere phase, une locomotive exerce une force de traction constante»F 1 de norme 400 kN sur un wagon qu’elle tire sur une distance d1 = 500 m. Dans uneseconde phase, la locomotive exerce une force constante »F 2 de norme 100 kN dans le sensoppose au mouvement afin d’arrˆeter le wagon au bout d’une distance d2 = 1 km.1. Calculer le travail de »F 1 durant la phase 1.S’agit-il d’un travail moteur ou resistant ?2. Mˆemes questions pour »F 2 durant la phase 2.Exercice 2 – DepanneuseDans le referentiel d’etude, on considere la situation suivante :une depanneuse remorque une voiture sur une pente faisant un angle α = 20◦avecl’horizontale. La depanneuse est en mouvement rectiligne uniforme et la force »F exerceepar le cˆable est constante, de norme 1600 N. Le cˆable forme un angle β = 30◦avec lachaussee. Quel est le travail effectue par la depanneuse sur la voiture si elle la remorquesur une distance d = 0,50 km ?Exercice 3 – RessortDans le referentiel d’etude, on considere la situation suivante fig. 4.1 :un objet est attache a un ressort de raideur k en apesanteur. A l’equilibre, l’objet esta l’altitude z0 = 0,3 m fig. 4.1a. A l’instant initial, l’objet est amene a z = 0 m puisrelˆache. La force exercee par le ressort en fonction de z est representee sur la fig. 4.1b.1. A partir du graphique, donner les caracteristiques de cette force. Sont-elles cohe-rentes avec l’expression de la force de rappel d’un ressort ?2. Quel est le travail de la force exercee par le ressort lorsque l’objet se deplace :2.a de z = 0 m a z = 0,3 m ?2.b de z = 0,3 m a z = 0,6 m ?2.c de z = 0 m a z = 0,6 m ?3. Retrouver ce dernier resultat sans aucun calcul.— 13/19 —
Page 14 : Figure 4.1 Exercice 3Exercice 4 – AscenseurDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :l’ascenseur express de la tour Sears a Chicago a une vitesse moyenne v = 600 m/min.Quelle est la puissance moyenne de son moteur pour monter une masse m = 1 tonnedepart et arrivee au repos ?Exercice 5 –Dans le referentiel d’etude suppose galileen, on considere la situation suivante :un corps ponctuel de masse m = 1,50 kg se deplace sur une droite sous l’influence d’uneseule force »F . Sa position au cours du temps est donnee par :xt = αt2 avec α = 5,00 m · s2.1. Determiner »F .2. Calculer de deux manieres differentes le travail de cette force pendant t = 5 ssuivant l’instant initial pris comme origine du temps.3. Commenter le signe de ce travail en fonction du signe de α.Exercice 6 – CyclisteDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :une cycliste descend une pente en roue libre, passant d’une altitude h1 = 1200 m ou savitesse est v1 = 50 km · h1 a une altitude h2 = 950 m ou sa vitesse est v2 = 60 km · h1.Le systeme cycliste + bicyclette a une masse m = 55 kg.Determiner le travail des forces de frottement sur ce deplacement.Exercice 7 – LugeDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :un enfant fait de la luge. Le systeme enfant + luge a une masse m = 40 kg. L’enfantpart avec une vitesse nulle du sommet d’une pente de longueur d = 100 m inclinee d’unangle α = 30◦par rapport a l’horizontale.— 14/19 —
Page 15 : 1. En negligeant les frottements, quelle est la vitesse finale vf = »v fde l’enfant enbas de la pente ?2. Si vf = 60 km · h1, determiner le coefficient de frottement µ de la neige sur laluge.Exercice 8 – Profil d’energie potentielleOn considere une molecule diatomique polaire formee de deux atomes M1 et M2 ponctuelsdistants de r, de charge partielle q1 = +δe et q2 = δe. L’energie potentielle Urd’interaction entre les atomes est modelisee par :Ur = δ2e24πϵ0r + Ar9ou A est une constante positive.On etudie le mouvement de M2 dans le referentiel lie a M1.1. Pour chaque terme de Ur, indiquer s’il correspond a une interaction attractiveou repulsive et en donner le sens physique.2. Tracer l’allure de Ur et y placer le rayon d’equilibre req que l’on determinera.Cet equilibre est-il stable ?3. On pose r′ = r req.Au voisinage de la position d’equilibre, effectuer une approximation a l’ordre 2 deUr et en deduire l’expression de la force »F subie par M2 dans cette region.De quel type de force s’agit-il ? Exprimer ses parametres en fonction des donneesdu probleme.N.B. : cette approximation, dite harmonique, est fondamentale en Physique ; ellepermet de decrire le comportement de tout systeme physique soumis a une forceconservative au voisinage d’un equilibre stable.— 15/19 —
Page 16 : 5Problemes : »p et EExercice 1 – LoopingDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :une bille ponctuelle de masse m est lˆachee depuis le point B avec une vitesse initialenulle. Elle glisse sans frottement sur le plan incline puis dans le looping de rayon a. Ondesigne par g = 10 m · s2 l’intensite du champ de pesanteur.1. Par un raisonnement energetique, exprimer la vitesse angulaire ˙θ de la bille en unpoint quelconque du looping en fonction de θ.2. Ecrire le PFD pour la bille dans le looping. En deduire l’expression de la reactionnormale »N = N »u r en fonction de θ et h.3. Montrer qu’a h fixee, la reaction est minimale en A.4. En deduire une condition sur h pour que la bille effectue un looping complet.5. Dans le cas ou h est insuffisante, donner l’expression de l’angle de decrochage θdainsi que l’altitude de decrochage zd.Exercice 2 – supp. BosseDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :un palet de masse m = 5,0 kg assimile a un point materiel est lance sur une piste composeed’une portion rectiligne AB inclinee d’un angle α = 30◦par rapport a l’horizontale etd’une portion circulaire BC de rayon R = 2,0 m. Initialement lance depuis A avec lavitesse »v A, le palet glisse sans frottement sur la piste. On designe par g = 10 m · s2l’intensite du champ de pesanteur.— 16/19 —
Page 17 : \ \ \ \ \ z D ,a ' \ C 1. Determiner par un raisonnement energetique la vitesse vB = »v Ben fonction devA, g, R et α.2. En deduire, en fonction de g, R et α, la valeur minimale v0 de vA telle que B soiteffectivement atteint par le palet.3. On suppose cette derniere condition verifiee. Calculer la duree τ du parcours dela portion AB en fonction de vA, vB, g et α.4. Determiner l’expression de la reaction normale N = »Ndu support lors de laphase du mouvement sur l’arc BC en fonction de m, g, R, θ et ˙θ puis en fonctionde m, g, R, θ et v.5. Montrer que si le palet decolle entre B et le sommet D, ce decollage a lieu en B.Determiner, en fonction de R, g et α, la valeur maximale vℓde vA telle qu’il n’yait pas de decollage avant le sommet.6. Determiner la valeur minimale vℓ′ de vA telle que le sommet soit atteint.7. Exprimer ainsi l’intervalle de valeurs de vA, puis la condition sur l’angle α, pourque le palet franchisse le sommet sans decoller.8. Montrer que la valeur θd de θ pour laquelle le palet quitte la piste est donnee parcos θd =v2A3gR.Exercice 3 – FlipperDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :le lanceur d’un flipper est constitue d’un ressort de raideur k = 360 N·m1 et de longueura vide ℓ0 = 20 cm. Ce ressort est fixe a l’extremite d’une gouttiere dans laquelle coulissentsans frottement le ressort et la bille du flipper. La gouttiere de lancement est inclineed’un angle α = 20◦par rapport a l’horizontale. On designe par g = 10 m · s2 l’intensitedu champ de pesanteur.1. Le joueur comprime le ressort de ℓℓ0 = 5,0 cm. Determiner la vitesse aveclaquelle la bille de masse m = 100 g est propulsee. On suppose que la bille estpropulsee quand le ressort reprend sa longueur a vide.2. La gouttiere a une longueur L = 1,2 m a partir du point d’attache du ressort.Determiner la vitesse de la bille a la sortie de la gouttiere.3. Quelle doit ˆetre la compression minimale du ressort pour que la bille entre dans lejeu c’est-a-dire sorte de la gouttiere ?— 17/19 —
Page 18 : 6Equations du mouvementhors-eq/eq : »LExercice 1 –1. Que represente le A de la notation »LA moment cinetique et »MA moment d’uneforce ?2. Dans le referentiel d’etude, un point materiel M est en mouvement circulaire decentre O et de rayon R dans le plan Oxy.2.a Dans quel sens direct ou indirect tourne M si la composante selon z de sonmoment cinetique par rapport a O est positive ?2.b Comment evolue sa vitesse angulaire si cette composante croˆıt ?Exercice 2 –Dans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :un point materiel M de masse m est attache a un fil ideal de longueur ℓ0, dont l’autrel’extremite est fixe en O. Dans le plan horizontal Oxy, M decrit un mouvement circulaireuniforme a vitesse v0.1. Determiner le moment cinetique de M par rapport a O.2. On reduit brutalement la longueur du fil a ℓ1.Exprimer la nouvelle vitesse v1 de M.3. Comparer l’energie cinetique de M avant et apres la reduction de la longueur dufil. A quoi correspond cette variation ?Exercice 3 – Pendule simpleDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :un point materiel M de masse m, attache a un fil ideal de longueur ℓdont l’autrel’extremite est fixe en O, oscille dans le plan vertical. On note θ l’angle d’inclinaison du filpar rapport a la verticale a l’instant t. On ne considere aucune autre force que la pesanteur.Etablir l’equation du mouvement de M a l’aide :1. du theoreme du moment cinetique2. supp. du theoreme de l’energie cinetique3. supp. du theoreme de la quantite de mouvement = PFD.— 18/19 —
Page 19 : Exercice 4 –On etudie le mouvement d’une comete C uniquement soumise a l’interaction gravita-tionnelle du Soleil S.1. Justifier que le referentiel RI lie au centre d’inertie I du systeme C + S, eten translation par rapport a un referentiel galileen, soit lui-mˆeme un referentielgalileen.2. Justifier que l’on puisse approximer RI avec le referentiel heliocentrique RS.Dans ce qui suit, on se place dans ce referentiel.A l’instant t0, la comete passe au point de sa trajectoire le plus proche du Soleil, note P0.Sa distance au Soleil vaut alors r0 et la norme de sa vitesse v0.3. Justifier que la vitesse radiale de la comete soit nulle en P0.4. Faire un schema approximatif de la trajectoire de la comete. Placer en particulierP0 et »v 0.5. Exprimer le moment cinetique de la comete par rapport a S en P0.6. Montrer que le moment cinetique de la comete est une constante du mouvement.Exercice 5 – Bille dans un cˆoneDans le referentiel terrestre, approxime galileen, on considere la situation suivante :une bille ponctuelle de masse m glisse sans frottement a l’interieur d’un cˆone de sommetO, de demi-angle α et d’axe O, »uz vertical ascendant. On utilise les coordonneescylindriques dont l’origine est prise en O.1. Faire un schema de la situation.2. Exprimer l’altitude z de la bille en fonction de r et α.3. 3.a Montrer que l’energie mecanique Em de la bille est conservee.3.b L’exprimer en fonction de r, ˙r, ˙θ et des parametres de la situation.4. 4.a Montrer que la composante selon z du moment cinetique de la bille estconservee.4.b L’exprimer en fonction de r, ˙θ et des parametres de la situation.5. 5.a En deduire Em en fonction de r, ˙r, Lz et des parametres de la situation.5.b Exprimer Em comme la somme d’une energie cinetique effective et d’uneenergie potentielle effective.5.c Tracer l’allure de l’energie potentielle effective et decrire le mouvement de labille.— 19/19 —
