TD
Pages : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Page 1 : Ondes - TD 1Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme ISoit un ressort ideal sans masse, de constante de rappel k et de longueur au repos L0,suspendu verticalement par une de ses extremites.Mk, L01. On accroche une masse M au bas du ressort et on la laisse descendre lentement jusqu’ace qu’elle s’arrˆete. Quelle est la longueur du ressort a ce moment?2. Plutˆot que de laisser la masse descendre lentement, on la laisse simplement tomber.a En appliquant la deuxieme loi de NEWTON, etablir l’equation du mouvementde la masse.b Resoudre le probleme de CAUCHY pour decrire le mouvement de la masse.c Exprimer la pulsation ω, frequence ν et periode τ temporelles des oscillations.Ces grandeurs dependent-elles de g?d l’instant t0, quelle est la longueur moyenne ⟨ℓt0⟩du ressort sur une periode?N.B.: pour une fonction F de periode τ:⟨F⟩t0 = 1τZ t0+τt0Ftdt13. Approche energetiquea Retrouver l’equation du mouvement de la masse par un raisonnement energetique.b Montrer que t0,⟨Ec⟩t0 = ⟨Ep⟩t0 = E22ou Ec, Ep et E sont respectivement les energies cinetique, potentielle et totalede la masse. Commenter.1
Page 2 : Probleme II supp.Soit un circuit electrique consitue d’une bobine d’inductance L et d’un condensateur decapacite C en serie.1. Par analyse dimensionnelle, determiner une grandeur assimilable a une frequenceangulaire en utilisant les quantites physiques du probleme.2. En appliquant la loi des mailles, etablir l’equation determinant l’evolution temporellede la charge Q du condensateur.En deduire la pulsation ω des oscillations de Qt.Faire une analogie avec un oscillateur mecanique systeme masse-ressort.3. Resoudre l’equation pour Qt si, a t = 0, le condensateur porte une charge Q0 et lecourant electrique est nul.4. Approche energetique:a Rappeler l’expression de l’energie EC emmagasinee dans un condensateur et del’energie EL dans la bobine.Faire une analogie avec un oscillateur mecanique.b Retrouver l’equation determinant l’evolution temporelle de Q par un raison-nement energetique.c Montrer que t0,⟨EC⟩t0 = ⟨EL⟩t0 = E23ou E est l’energie electrique totale du circuit. Commenter.Probleme IIIOn considere un bloc de masse M libre de glisser sans frottement sur un plan horizontal.Il est attache de chaque cˆote par des ressorts ideaux sans masses, de constante de rappel ket 2k, respectivement, eux-mˆemes attaches a des surfaces verticales.1. Calculer la pulsation du systeme.2. Si la norme de la vitesse du bloc au moment ou il passe au point d’equilibre est v,quelle est l’amplitude de l’oscillation du bloc?Mk2k2
Page 3 : Probleme IV supp.Soit une particule ponctuelle soumise a un ”potentiel” V x abus de language, il s’agitd’une energie potentielle.Montrer que si x0 est un minimum de V x, alors la particule se comporte approximative-ment comme un oscillateur harmonique simple dans le voisinage de x0.Determiner x0 et la pulsation des oscillations dans le voisinage de x0 pour le ”potentiel” deLENNARD-JONES:V x = 4ϵσx12σx6.4Probleme V supp.Retrouver les identites trigonometriques suivantes en utilisant la formule d’Euler.1. sinθ + ϕ = sinθ cosϕ + cosθ sinϕ,2. cosθ + ϕ = cosθ cosϕ sinθ sinϕ,3. cos3θ = 4 cos3θ 3 cosθ,4. sin3θ = 4 sin3θ + 3 sinθ.3
Page 4 :
Page 5 : Ondes - TD 2Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme IOn reprend le probleme I du TD1, en ajoutant une force de frottement e.g. de la part del’air de la forme ⃗f = α⃗v ou α est une constante positive.1. En appliquant la deuxieme loi de NEWTON, etablir l’equation du mouvement de lamasse.N.B.: on pourra poser α = MΓ.2. Resoudre l’equation du mouvement:a dans le cas sous-amorti.b dans le cas critique.c dans le cas sur-amorti.Probleme II supp.Soit un circuit electrique compose d’une inductance L, d’une capacite C et d’une resistanceR en serie.1. Etablir l’equation determinant l’evolution temporelle de la charge Q du condensateur.Faire une analogie avec un oscillateur mecanique amorti.2. Resoudre l’equation pour Qt si, a t = 0, le condensateur porte une charge Q0 et lecourant electrique est nul:a dans le cas sous-amorti.b dans le cas critique.c dans le cas sur-amorti.Probleme IIISoit une masse M posee sur un ressort ideal sans masse, de constante de rappel k et delongueur au repos L0, lui mˆeme pose perpendiculairement a un plan horizontal. Le planhorizontal oscille verticalement, sa hauteur au temps t etant donnee parht = h0 sinωdt.11. Trouver l’equation du mouvement de la masse.2. Donner la solution generale de la partie homogene de l’equation.3. Donner une solution particuliere de l’equation.1
Page 6 : 4. Donner la hauteur de la masse en fonction du temps si, a t = 0, la masse est immobilea une distance L0 mg/k du plan horizontal.Mk, L0htProbleme IV supp.Soit un bloc de masse M libre de glisser sans frottement sur un plan horizontal, attachede chaque cˆote a des ressorts ideaux sans masses, de constante de rappel k et 2k, re-spectivement, et de longueur au repos a. Les extremites de chaque ressort se deplacenthorizontalement selonXGt = G cosωGt,XDt = D cosωDt.2On mesure la position du bloc, XMt, par rapport au point d’equilibre entre les deuxressorts.1. Donner l’equation du mouvement de la masse.Identifier la partie homogene de l’equation.2. En utilisant le principe de superposition pour separer le mouvement des deux ressorts,trouver la solution generale de l’equation du mouvement.3. Si a t = 0 le bloc est immobile a son point d’equilibre, trouver la solution particulierede l’equation du mouvement correspondante.t = t0Mk2kXGt0XDt0XMt02
Page 7 : Ondes - TD 3Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme IDeux masses M1 et M2 sont placees sur un plan horizontal et libres de se deplacer sansfrottement. Elles sont reliees entres elles par un ressort ideal de constante de rappel k et delongueur au repos L0; chacune est egalement reliee a un mur vertical par un ressort idealde constante de rappel 2k et de longuer au repos L0. La distance entre les deux murs est3L0, et on mesure la position des blocs par rapport a leur position d’equilibre.1. Donner les equations du mouvement de ce systeme sous forme matricielle. Donnerl’expression des tenseurs K et M.2. Utiliser les valeurs propres de la matrice M 1K pour trouver les pulsations propresdu systeme.On suppose maintenant que les deux masses sont identiques M1 = M2.c Donner les vecteurs propres de la matrice M 1K correspondant a chaque pulsationpropre. Les utiliser pour trouver la solution generale du probleme.d Si a t = 0 les deux masses sont au repos, mais que la masse de droite est deplaceed’une distance a vers la droite par rapport a sa position d’equilibre, alors que la massede gauche est a sa position d’equilibre, donner la solution particuliere correspondante.M1M22kk2k1
Page 8 : Probleme II1. En utilisant la conservation de l’energie, etablir l’equation du mouvement d’un pend-ule simple de longueur L et de masse M. On note ψ l’angle d’inclinaison du pendulepar rapport a la verticale.Sous quelles conditions peut-on considerer le systeme comme un oscillateur har-monique? Quelle est alors la pulsation du systeme?ψML2. On couple deux pendules de longueur L et de masse M par un ressort ideal de con-stante de rappel k et de longueur au repos a. Les points d’attache des pendules sontsitues a une distance a l’un de l’autre. On note ψ1 et ψ2 l’angle d’inclinaison du pre-mier et du second pendule, respectivement. On supposera que les angles sont petits,i.e. ψ1, ψ2 1 t.a Exprimer l’elongation du ressort en fonction des angles ψ1, ψ2 et des parametresL et M. Estimer l’inclinaison du ressort.b Utiliser la deuxieme loi de NEWTON pour obtenir les equations du mouvementdu systeme sous forme matricielle.Donner les pulsations propres ainsi que les modes propres correspondant.ψ1MLψ2MLak, a2
Page 9 : Ondes - TD 4Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme IOn considere l’agencement de masses de valeur M et de ressorts de constante de rappel killustre ci-dessous:aaaax1123ˆuxChacune des masses peut glisser verticalement le long d’une tige rigide, et elles sont separeesles unes des autres d’une distance a beaucoup plus grande que la longueur au repos desressorts, L0. On numerote en ordre les masses de 1 a 3, de gauche a droite, et on notexn la hauteur de la masse numero n par rapport a sa position d’equilibre on neglige leseffets de la gravite. On suppose de plus que chaque masse subit une force de frottementM γ ˙xn ˆux.1. Montrer que les equations du mouvement de ce systeme peuvent ˆetre mises sous laforme¨⃗Xt + Γ ˙⃗Xt + M 1K ⃗Xt = 0,1avec ⃗Xt = x1t, x2t, x3t et M, Γ, et K, des matrices a determiner.2. Trouver ⃗V1, ⃗V2, ⃗V3 trois vecteurs propres lineairement independants de la matriceM 1K.3. Pour chaque vecteur propre ⃗Vi, poser l’ansatz⃗Xt = fitVi,2et montrer que c’est une solution de 1 si fit est une solution de l’equation d’unoscillateur amorti:¨fit + γi ˙fit + ω2i fit = 0,3ou γi et ωi sont des constantes a determiner.4. supp. Supposons que l’on graisse la tige du milieu mais pas les autres, de sorte quela masse numero 2 ne subit plus aucun frottement.Est-ce que l’ansatz 2 fonctionne toujours dans ce cas? Pourquoi?1
Page 10 : Probleme IIOn considere un systeme dont les equations du mouvement sont de la forme¨⃗Xt + W ⃗Xt = ⃗Ft,4ou le vecteur position est ⃗Xt = x1t, x2t, et⃗Ft = F0 cosωdtsinωdt,W = ω2110ω22.5On suppose que ω21 ̸= ω22.1. Trouver les modes propres de ce systeme.2. Trouver la solution generale de l’equation 4.3. Etant donnees les conditions initiales suivantes:⃗X0 = 00,˙⃗X0 = 00,6trouver la solution particuliere de l’equation 4 correspondante.On suppose maintenant que ω1 = ω2 ω et que F0 = 0.4. Trouver les vecteurs propres de la matrice W; combien y en a-t-il?5. Pour trouver les modes propres manquants, on pose l’ansatz:⃗Xt = t2ftdftdt.7Inserer cet ansatz dans 4 pour obtenir une equation pour ft. Utiliser la solutionde cette equation pour donner la solution generale des equations du mouvement.6. supp. Alternativement, on peut utiliser l’approche suivante pour resoudre:a Montrer que pour toute matrice M t. q. M 2 = W, et tout vecteur constant ⃗Y ,⃗X±t = exp ±iMt ⃗Y ,exp ±iMt Xn=01n!±iMtn,8sont des solutions de l’equation 4. Indice: prenez pour acquis que la sommeinfinie dans la definition de l’exponentielle matricielle converge uniformementi.e. on peut faire entrer les derivees a l’interieur de la somme!.b Montrer que pour tout entier n 1, et tout nombre reel a, b ̸= 0, ab0an= annan1b0an,9et donc queexp ab0a= ea 1b01.10c Trouver une matrice M telle que M 2 = W, et utiliser le resultat precedent pourdonner la solution generale des equations du mouvement; est-ce bien la solutiontrouvee precedemment?2
Page 11 : Ondes - TD 5Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme ISoit une chaˆıne de N masses de valeur M accrochees les unes aux autres par des ressortsde constante de rappel k et de longueur au repos L0. Chacune des masses peut glisserverticalement le long d’une tige rigide, sans frottement, mais ne peut pas se deplacer hori-zontalement. Les tiges sont fixees a une distance a L0 les unes des autres.a12n 1nn + 1NxnOn numerote en ordre les masses de 1 a N, de gauche a droite, et on note xn la hauteur dela masse numero n par rapport a sa position d’equilibre.1. Par un raisonnement energetique, et en negligeant l’effet de la gravite, etablir lesequations du mouvement du systeme on notera ω0 la pulsation d’un oscillateur seul.2. En utilisant l’ansatz xnt = Aneiωt, exprimer les equations du mouvement commeune equation aux recurrences de la formeAn+1 = 2βAn An1,N 1 n 2.1Trouver la valeur de β ainsi que les conditions initiale n = 1 et finale n = N de larecurrence.3.a Poser les deux ansatz An = α±e±inθ, et montrer que l’equation 1 se reduitalors a une equation pour θ en fonction de β.b Montrer que la condition initiale de 1 impose que la solution de l’equation soitune combinaison lineaire des deux ansatz.c Montrer alors que la condition finale de 1 impose une contrainte sur la valeurde θ. En deduire les pulsations propres du systeme.4. Combiner la solution de 1 avec les pulsations propres trouvees pour donner la solu-tion generale du probleme.5. supp. Voici une autre fa¸con de resoudre l’equation aux recurrences 1.Considerer la fonction generatriceFt Xn=1Antn,An 1n!ntn Fnt=0.21
Page 12 : Montrer alors que Ft est une fonction rationnelle de t. Ce type d’approche est par-fois utilisee pour prouver certaines proprietes des coefficients An sans necessairementconnaˆıtre leur forme explicite.Exercice IIOn considere une onde progressive periodique se depla¸cant selon l’axe Ox dans la directionx 0. La figure ci-dessous represente une partie de l’onde a un instant donne, en fonctionde la position:Que se passe-t-il dans les cas suivants? expliquer et illustrer le resultat par un dessin1. l’amplitude et la frequence sont doublees, mais la vitesse de phase est inchangee.2. la frequence et la vitesse de phase sont doublees, mais l’amplitude est inchangee.3. la longueur d’onde et l’amplitude sont divisees par trois, et la vitesse de phase estdoublee.Exercice IIIOn considere une onde progressive monochromatique de pulsation ω0 et de longueur d’ondeλ0 se depla¸cant selon l’axe Ox. On imagine une observatrice se depla¸cant selon le mˆemeaxe Ox avec une vitesse V0ˆux V0 c, capable de mesurer la valeur de l’onde ϕx, t a saposition.On suppose qu’a t = 0 elle mesure la valeur de l’onde comme etant un maximum, etqu’elle doit attendre un temps t avant de mesurer un autre maximum.1. En supposant que l’onde et l’observatrice se deplacent toutes deux dans la mˆemedirection, exprimer t en termes des donnees du probleme.Quelle frequence et quelle longueur d’onde l’observatrice mesure-t-elle?2. En supposant que l’onde et l’observatrice se deplacent dans des directions opposees,exprimer t en termes des donnees du probleme.Quelle frequence et quelle longueur d’onde l’observatrice mesure-t-elle?2
Page 13 : Ondes - TD 6Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme ILa propagation d’ondes dans divers milieux est decrite par les equations differentielle suiv-antes1:aα2t ϕx, t + 2βtxϕx, t + γ2xϕx, t = 0,b4t ϕx, t 4xϕx, t = 0,c2t ϕx, t + α4xϕx, t = 0,EULER-BERNOULLIdc22t ϕx, t 2xϕx, t + m2c2ℏ2 ϕx, t = 0,KLEIN-GORDONetϕx, t α2xϕx, t = 0,Chaleurou on a utilise la notation y y pour y = x, t.Pour chacune de ces equations, donner la relation de dispersion correspondante ainsi queles vitesses de phase et de groupe. En deduire le caractere dispersif ou non du milieu.Probleme IIOn considere une corde tendue selon l’axe des x et fixee en x = 0 et x = L.La propagation d’ondes transversales est decrite par l’equation2:2t ϕx, t T4πσ 2xϕx, t Y S24πσ 4xϕx, t = 0,1ou ϕx, t est la deformation transversale de la corde, T la tension dans la corde, σ la densitelineique de masse, Y le module d’elasticite de YOUNG et S l’aire transversale de la corde.1. Donner la relation de dispersion, ainsi que les vitesses de phase et de groupe de cesondes.2. Compte-tenu des conditions aux bords, montrer que la solution generale de ce systemeest de la forme:ψx, t =Xn=0αn cosωnt + βn sinωnt sinnπL x,2ou ωn ωnπ/L.3. Exprimer les parametres an, bn en termes des conditions initiales ψx, 0 et tψx, 0.4. Que deviennent les resultats precedents dans le cas d’une corde infiniment rigide i.e.Y = 0?1c Deformation d’une poutre fixee a une extremite. d Description quantique d’une particule relativistesans spin. e Propagation de la chaleur dans un materiel.2M. PODLESAK, A.R. LEE, Dispersion of waves in piano strings, J. Acoust. Soc. Am. 83 1, 19881
Page 14 : 5. Le Piano La corde est immobile dans sa position d’equilibre, lorsqu’on la frappeavec un petit marteau de largeur ϵ 1, transferant une impulsion non nulle a unepetite partie de la corde situee en x = a + ϵ/2. On suppose alors quetψx, 0 =ua x a + ϵ,0sinon.3a Exprimer les coefficients αn, βn en termes des donnees du probleme ne pasdevelopper l’expression de ωn.b Trouver une application musicale de la dependance en a des differents coeffi-cients; que faut-il faire pour eliminer le premier harmonique dissonant n = 7?Expliquer en faisant un dessin.c Dans le cas a = L/2, quels sont les harmoniques presents dans le son emis parla corde? Donner ψx, t.6. supp. Le Clavecin La mˆeme corde est a present pincee et lˆachee a t = 0 de manierea ce que sa vitesse initiale soit nulle, et que sa forme initiale soit donnee parψx, 0 =x Laa0 x a,L xa x L.4a Exprimer les coefficients αn, βn en termes des donnees du probleme.b Pour le cas p = 1, q = 3, comparer l’amplitude des differents modes; quel modea la plus grande amplitude?2
Page 15 : Ondes - TD 7Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme IOn etudie la propagation d’ondes sonores dans un tuyau cylindrique rempli d’air, d’axeOx, qui s’etend du point x = 0 au point x = L. On suppose que Px, t, la variation de lapression par rapport a la pression atmospherique patm, obeit a l’equation suivante:ργ patm2t2 Px, t 2x2 Px, t = 0,1ou ρ est la densite volumique de l’air et γ est l’indice adiabatique de l’air.1. Donner la relation de dispersion, ainsi que les vitesses de phase et de groupe de cesondes.2. En supposant que le tuyau est ouvert aux deux extremites, et donc quePL, t = P0, t = 0 t, donner les modes propres du systeme.Quelle est la longueur d’onde minimale d’une onde se propageant dans ce tube?3. On suppose maintenant qu’un musicien souffle dans le tube a l’extremite x = 0,produisant la conditionP0, t = Pf sinωft,2ou ωf n’est pas une pulsation propre du tuyau.Donner alors l’expression generale pour la pression dans le tuyau.4. Que se passe-t-il dans la limite ou ωf tend vers une des pulsations propres du tuyau?Donner une interpretation physique du resultat.Probleme IIOn considere un tuyau comme celui dans le probleme precedent, mais qui est equipe d’undispositif nous permettant de faire varier la longueur du tube. On suppose que le tuyaucontient initialement une ondeϕx, t = sinπL x/L cosωt,x 0, L.3A t = 0, on allonge brutalement le tuyau, de sorte que les bords sont maintenant en x = 0et x = 2L. Donner l’expression de l’onde ψx, t dans ce nouveau tuyau pour t 0.1
Page 16 : Probleme IIIOn considere une corde tendue le long de l’axe des x, dont la densite lineique de massevarie selon x:µx =µ1x xµ2xx.4Sur chaque segment de corde, les petites deformations transversales de la corde ψx, tobeissent a l’equation d’onde suivante:µxT02t2 ψx, t 2x2 ψx, t = 0,5ou µx est la densite lineique de masse et T0 la tension dans la corde.On suppose une solution de la forme:ψx, t =A1eik1c1tx + B1eik1c1t+xx xA2eik2c2tx + B2eik2c2t+xxx,6avec c2j = T0/µj.1. En utilisant la continuite des fonctions ψx, t et ψx,tx, obtenir une equation ma-tricielle de la formeM1 A1B1= M2 A2B2,7avec M1, M2 des matrices 2 par 2 a determiner.N.B.: poser α = eik1y et β = eik2y afin de simplifier les expressions.2. En utilisant le resultat suivant: abcd1=1ad bcdbca,8calculer le produit M 11 M2.3. Pour le cas particulier y = 0, B2 = 0, exprimer B1/A1 et A2/A1 en termes de lavitesse de phase sur les deux parties de la corde.2
Page 17 : Ondes - TD 8Probleme I supp.Soit le champ vectoriel:⃗Ar, θ, ϕ, t = sinθrcoskr ωt z u 1kr sinkr ωtˆϕ,1ou ω = kc, et qui satisfait l’equation d’onde vectorielle:1c22t2 ⃗Ar, θ, ϕ, t 2 ⃗Ar, θ, ϕ, t = 0,2ou 2 est le laplacien vectoriel, 2 ⃗A = ⃗⃗· ⃗A ⃗× ⃗× ⃗A.On rappelle l’expression des differents operateurs differentiels en coordonnees spheriques:⃗f = fr ˆr + 1rfθˆθ +1r sin θfϕˆϕ,⃗· ⃗A = 1r2rr2Ar +1r sin θθAθ sin θ +1r sin θϕAϕ,⃗× ⃗A =1r sin θ θAϕ sin θ ϕAθˆr + 1r1sin θϕAr rrAϕˆθ+ 1r rrAθ θArˆϕ.a Calculer la divergence ⃗· ⃗Ar, θ, ϕ, t et le rotationnel ⃗× ⃗Ar, θ, ϕ, t.b Calculer ensuite ⃗⃗· ⃗Ar, θ, ϕ, t et ⃗× ⃗× ⃗Ar, θ, ϕ, t.c Montrer que le champ vectoriel 1 satisfait bien l’equation d’onde vectorielle 2.Probleme IIOn considere un materiel de conductivite σ, de permittivite ϵ0 et de permeabilite µ0, sanscharges ni courants libres.a Montrer, a partir des equations de MAXWELL, que les champs ⃗E et ⃗B doiventsatisfaire les equations:1c22t2 ⃗E + µ0σ t⃗E 2 ⃗E = 0,31c22t2 ⃗B + µ0σ t⃗B 2 ⃗B = 0.4b Montrer qu’une onde plane ⃗E⃗r, t = ⃗E0eiωt⃗k·⃗r, avec ⃗E0 et ⃗k des vecteurs constants,est une solution de l’equation 3 si et seulement si:⃗k · ⃗k = ω2c2 iµ0σω.51
Page 18 : c On pose ⃗k = kei ϕ2 ˆu, avec ˆu un vecteur unitaire, k et ϕ deux nombres reels.Exprimer alors k et ϕ en fonction des donnees du probleme.Probleme IIIOn considere une onde electromagnetique incidente sur un materiel de conductivite σ, depermittivite ϵ0 et de permeabilite µ0, sans charges ni courants libres. On suppose que lemateriel remplit la partie x 0 de l’espace, et que l’exterieur du materiel est vide. Onsuppose de plus que l’onde incidente est de la forme:⃗E = ⃗Eieiωt⃗ki·⃗r,avec le vecteur d’onde ⃗ki = ki cos θˆux + ki sin θˆuy.a Soient θR et θT les angles entre l’axe des x et la direction de propagation de l’ondereflechie et de l’onde transmise respectivement.Exprimer θR et θT en fonction des donnees du probleme. Montrer que si θ ̸= 0, alorsθT /R.b En supposant que ⃗Ei soit dans le plan xy, exprimer l’amplitude de l’onde reflechie etde l’onde transmise en fonction des donnees du probleme.Probleme IVSoit l’onde electromagnetique decrite par le champ electrique:⃗Ex, y, z, t = E0 ˆx + iˆy2eiωtkz6ou ω = kc.a Le vecteur de POYNTING ⃗S = µ10 Re ⃗E × Re ⃗B decrit entre autres la densited’energie et d’impulsion transportees par l’onde.Donner le vecteur de POYNTING pour l’onde decrite par l’equation 6.b Calculer la densite d’energie electromagnetique contenue dans cette onde.c Comparer ces resultats avec ceux pour une onde polarisee en x, c’est a dire⃗Ex, y, z, t = E0ˆxeiωtkz.7Verifier que cette onde respecte la conservation de l’energie electro-magnetique:tEEM + ⃗· ⃗S = 0.82
Page 19 : Probleme VUn guide d’onde est un tube ou un conduit dont les parois sont considerees comme desconducteurs parfaits, utilises pour diriger des ondes electromagnetiques dans une directionparticuliere, ou pour empˆecher certaines ondes de traverser une ouverture. On considere iciun guide d’onde de section rectangulaire, de cˆotes a et b:yxab9Sur les bords du guide, on doit avoir ⃗B · ˆn = 0, et ⃗E × ˆn = ⃗0, avec ˆn la normale a la surface.Si on suppose une onde de la forme:⃗E = ⃗E0x, yeikzωt,⃗B = ⃗B0x, yeikzωt,10les equations de MAXWELL imposent alors:Ex =iω/c2 k2k Ezx + ω Bzy,Ey =iω/c2 k2k Ezy ω Bzx11Bx =iω/c2 k2k Bzx ωc2Ezy,By =iω/c2 k2k Bzy + ωc2Ezx,12ainsi que:Eyx Exy = iωBz,Byx Bxy= iωc2 Ez.13a En supposant que Bz = 0, montrer que l’equation 13 se reduit a:2Ez2x + 2Ez2y = k2 ω/c2Ez.14b En utilisant la methode de la separation des variables, poser Ez = FxGy et mon-trer que l’equation 14 se reduit alors au systeme d’equations aux derivees ordinaires:1F F ′′ = k2x,1GG′′ = k2y.15Donner les conditions aux bords satisfaites par les fonctions F et G.c Montrer qu’il y a une pulsation minimale ωc telle que si ω ωc alors Rek = 0, i.e.il n’y pas de propagation dans le guide.Exprimer cette pulsation critique en termes des donnees du probleme.d Montrer que si ω ωc, alors la vitesse de phase de l’onde est plus grande que lavitesse de la lumiere.3
