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Page 1 : CY Cergy Paris Université2024 – 2025CY TechPréIng 2Travaux dirigésIntroduction à la physique moderneVersion élève du mercredi 5 mars 2025 à 22h50.Ce document est disponible sur Moodle.Merci de ne pas le diffuser en dehors de CY Cergy Paris Université.— 1/15 —
Page 2 : ContactEnseignants chargés du cours magistral :• Panayotis Akridas–Morel pakridas@cyu.fr ne pas passer par Teams• Lucie Desplat lucie.desplat@cyu.fr à PauEnseignants chargés des travaux dirigés :• Panayotis Akridas–Morel• Abdelaziz Boumiz abdelaziz.boumiz@cyu.fr• Émilie Dupont emilie.dupont@cyu.fr• Fabien Piguet fabien.piguet@cyu.frBureau : Bâtiment Cauchy — 2e étage — CY 308— 2/15 —
Page 3 : Références indicativesA Mécanique quantique 1, Claude Aslangul, De Boeck supérieur 2007 Cerclades :530.12 ASL.Ber Physique quantique — Berkeley : cours de physique — Volume 4, Eyvind H.Wichmann, Librairie Armand Colin 1974 Cerclades : 530 BER édition de 1998.BasDa Mécanique Quantique, Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard, Éditions del’École Polytechnique 2008 Cerclades : 530.12 BAS.H Physique, Eugene Hecht, De Boeck supérieur 1999 Cerclades : 530.12 BAS.K Modern Physics, Kenneth S. Krane, 4e édition, Wiley 2020.LL Physique théorique : théorie des champs, Lev Landau et Evgueni Lifchitz, MIR-Ellipses 1994.LeBa Quantique : rudiments, Jean-Marc Lévy-Leblond et Françoise Balibar, ÉditionsDunod 1997 Cerclades : 530.12 LEV éd. Masson.SiA Cours de physique générale — Tome 5 Physique atomique et nucléaire — Premièrepartie, D. Sivoukhine, Éditions Mir 1982.SiE Cours de physique générale — Tome 3 Électricité, D. Sivoukhine, Éditions Mir1983.Zu Quantum Mechanics for Beginners : With Applications to Quantum Communicationand Quantum Computing, Oxford University Press 2020 BU de Toulouse.— 3/15 —
Page 4 : DonnéesConstantes fondamentales« La Conférence générale des poids et mesures CGPM, à sa 26e réunion, . . . décidequ’à compter du 20 mai 2019, le Système International d’unités, le SI, est le systèmed’unités selon lequel » :• la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide vautc = 299 792 458 m · s1 ;• la constante de Planck vaut h = 6,626 070 15 × 1034 J · s ;• la charge élémentaire vaut e = 1,602 176 634 × 1019 C ;• la constante de Boltzmann vaut kB = 1,380 649 × 1023 J · K1 ;• la constante d’Avogadro vaut NA = 6,022 140 76 × 1023 mol1Autres constantes usuellesConstante de Planck réduite ou de Dirac ℏ= h/2πMasse au repos d’un nucléon proton ou neutron M 1,67 × 1027 kgMasse au repos de l’électron m 9,109 × 1031 kgConstante gravitationnelle G 6,674 30 × 1011 m3 · kg1 · s21 eV = 1,602 176 634 × 1019 JPerméabilité magnétique du videµ0 = 4παℏe2c1,257 × 106 N · A2Permittivité diélectrique du videε0 =1µ0c2 8,854 × 1012 F · m1Constante de structure fineα =e24πε0ℏc 7,297 × 103— 4/15 —
Page 5 : Table des matières1Débuts de la mécanique quantique72Modèles de l’atome103Relations d’Heisenberg13— 5/15 —
Page 6 : Repères historiquesavant• 1632 Galilée 1564–1642 publie le Dialogue sur les deux grands systèmesdu monde ;• 1687 Isaac Newton 1642–1727 publie des Principia Philosophiae naturalisprincipia mathematica ;XIXe• v. 1865 James Clerk Maxwell 1831–1879 publie les 20 équations de l’élec-tromagnétisme réécrite sous forme différentielle par Oliver Heaviside 1850–1925• 1862 Léon Foucault 1819–1868 mesure la vitesse de la lumière dans l’air• 1887 expérience de Michelson et Morley• 1895 Wilhelm Röntgen 1845–1923 découvre les rayons X• 1897 Joseph John Thomson 1856–1940 découvre l’électronXXe• 1901 Max Planck 1858–1947 donne une justification théorique et à l’échellemicroscopique du rayonnement du corps noir• 1905 Albert Einstein 1879–1955 publie quatre articles dont un expliquel’effet photoélectrique deux autres articles concernent la relativité restreinteet le quatrième porte sur le mouvement brownien• 1908 Jean Perrin 1870–1942 mesure la constante d’Avogadro 1776–1856de six manières différentes déterminée pour la première fois par JohannLoschmidt en 1865• 1909 Ernest Rutherford 1871–1937 assisté de Hans Geiger et ErnestMarsden met en évidence la structure de l’atome• 1913 Robert Andrews Millikan 1868–1953 mesure la charge de l’électron• 1914 Millikan mesure la constante de Planck• 1922 expérience de Stern et Gerlach• 1928 Paul A. M. Dirac 1902–1984 prédit l’existence du positon anti-particule de l’électron• 1932 Carl D. Anderson 1905–1991 met en évidence le positon• 1947 Bardeen, Schockley et Brattain obtiennent le premier transistortransfer resistor— 6/15 —
Page 7 : 1Débuts de la mécanique quantiquePoints importants du chapitrePré-requis: concept d’énergie vu en Mécanique du point.Savoirs:• relation de Planck–Einstein ;• relation de de Broglie pour une particule non relativiste ;• spectre des ondes EM radio, IR, visible, UV, X, γ ;• vitesse approchée de la lumière dans le vide ;• expliquer l’effet photoélectrique.Savoir-faire:• décrire une expérience mettant en évidence la notion de photons ;• déterminer la constante de Planck à partir de données expérimentales.Exercice — Effet photoélectrique : aspects expérimentauxEn plus du cours, consulter SiA.1. Qu’appelle-t-on « travail d’extraction » ?2. Représenter un montage expérimental permettant de mettre en évidence l’effetphotoélectrique et de faire les mesures nécessaires à la détermination du travaild’extraction et l’énergie des photoélectrons.3. Réaliser les graphiques suivants :— l’énergie cinétique des photoélectrons en fonction de l’intensité de la sourcede lumière pour ν νS, ν = νS et ν νS.— l’énergie cinétique des photoélectrons en fonction de la longueur d’onde pourune intensité donnée.— l’intensité du courant électrique i en fonction de l’intensité lumineuse I pourune fréquence donnée ν νS.— l’intensité du courant électrique i en fonction de la longueur d’onde pourν νS.4. Expliquer comment déterminer la constante de Planck à partir des donnéesexpérimentales.— 7/15 —
Page 8 : Exercice — Flux de photons BasDa1. Une antenne radio émet sur la fréquence ν = 1 MHz avec une puissance P = 1 kW.Quel est le nombre de photons émis par cette antenne en une seconde ?2. La Terre reçoit d’une étoile un flux lumineux Φ = 1,6 × 1010 W · m2 de longueurd’onde moyenne λm = 556 nm. Déterminer un ordre de grandeur du nombre dephotons traversant la pupille de l’œil durant une seconde.Exercice 1 — Effet photoélectriqueÀ l’aide d’une lampe à vapeur de mercure, on envoie sur une photocathode en potassiumune radiation ultraviolette de longueur d’onde λ1 = 254 nm. On constate alors quel’énergie des photoélectrons est E1 = 3,14 eV. Si l’on envoie une raie visible de longueurd’onde λ2 = 589 nm, l’énergie de ces électrons est de E2 = 0,36 eV.1. Laquelle de ces radiations est la plus énergétique ?2. Qu’appelle-t-on photoélectrons ?3. Retrouver une valeur approximative de la constante de Planck h.4. Calculer le travail d’extraction du potassium.5. En déduire la longueur d’onde maximale λmax des radiations pouvant produire uneffet photoélectrique sur le potassium.6. Déterminer l’énergie cinétique maximale des photoélectrons lorsque le potassiumest éclairé avec une lumière verte de longueur d’onde λ3 = 540 nm.7. Dans le modèle ondulatoire de la lumière, combien de temps un laser bleu d’inten-sité I = 1 × 102 W/m2 doit-il éclairer un atome de potassium pour lui arracherun électron ? Le rayon d’un atome est de l’ordre de l’angstrom. Commenter cerésultat.Exercice 2 — Longueur d’onde de de Broglie1. Donner l’expression de la longueur d’onde de de Broglie d’une particule nonrelativiste.2. Calculer la longueur d’onde de de Broglie2.a. d’un électron d’énergie cinétique 10 eV ;2.b. d’un chat de 5 kg et courant à 3,31 m · s1 ;3. Pour quelle raison ne peut-on pas calculer la longueur d’onde de de Broglied’un photon ?Exercice 3 — Action typique d’un système HP LeBaUn système physique peut être caractérisé par différentes grandeurs, comme son énergie,sa masse ou encore sa quantité de mouvement. À un tel système, on peut également— 8/15 —
Page 9 : associer une grandeur appelée « action » qui joue un rôle fondamental dans la mesureoù la connaissance de l’action du système et l’application du principe de « moindreaction » permettent de déterminer l’évolution de ce système équations du mouvementen mécanique, les équations de Maxwell, etc..Pour un système donné, la comparaison d’une valeur typique de l’action avec la constantede Planck permet de déterminer s’il est pertinent d’étudier ce système dans le cadre dela physique quantique.1. Rappeler l’unité et la dimension physique de la constante de Planck.2. Pour les différents systèmes considérés dans la suite, déterminer une valeur typiquede l’action et en déduire si le système doit être étudié dans le cadre de la physiquequantique.2.a. Le mécanisme d’une montre est constitué d’un ensemble d’engrenages detaille typique d 0,1 mm et de masse typique m 0,1 g.2.b. Un circuit électrique traversé par un courant d’intensité I = 1 mA est composéd’un condensateur de capacité C 0,1 nF et d’une bobine d’inductanceL 0,1 mH.2.c. Les mesures expérimentales effectuées avant l’élaboration de la mécaniquequantique, ont montré que l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène estE = 13,6 eV et que son spectre est constitué d’une raie de longueur d’ondeminimale λ = 100 nm.2.d. En dessous de T = 2,18 K, la viscosité de l’hélium 4 devient nulle, luiconférant ainsi la possibilité de s’écouler à travers un récipient. On dit alorsqu’il est dans un état superfluide. La masse volumique de l’hélium 4 vautρ = 1,46 × 102 kg · m3.— 9/15 —
Page 10 : 2Modèles de l’atomeExercice — Rayon classique de l’électron LL, p. 37L’énergie électrique d’un système de charges estU =ˆ ε02 E2 dV,où »E est le champ électrique créé par ce système.1. Déterminer l’énergie d’une sphère de rayon r0 et de charge totale q.2. D’après l’expression précédente, quelle serait l’énergie d’une particule élémentaire ?Le fait qu’une particule élémentaire rayon nul ait une énergie infinie dans lecadre de l’électrodynamique classique suggère que cette théorie n’est pas valable endessous d’une certaine échelle que nous nous proposons d’évaluer. Nous supposonsque l’énergie électrique d’un électron de rayon R est égale à son énergie propreou au repos : E = mc2.3. Montrer que le « rayon classique » déterminé sans considération de la physiquequantique de l’électron est :R =14πε0e2mc2.4. R 3 × 1015 m = 3 fmExercice 4 — Ordre de grandeur du rayon d’un atomeTrouver un ordre de grandeur de la taille a d’un atome de fer de masse molaire M =56 g · mol1. La masse volumique du fer est ρ = 7,8 g · cm3.Exercice 5 — Modèle de RutherfordAu début du XX e siècle, Jean Perrin, Hantaro Nagaoka 1865–1950 et ErnestRutherford proposent successivement un même modèle planétaire de l’atome danslequel le noyau de l’atome, chargé positivement, jouerait le rôle du Soleil autour duqueltourneraient des électrons dont la charge totale serait exactement l’opposée de celle dunoyau. Pour étudier les limites de ce modèle, nous considérons un atome d’hydrogèneconstitué d’un électron en mouvement circulaire uniforme autour du proton.— 10/15 —
Page 11 : 1. Cadre de la mécanique du pointDans cette question, on étudie le mouvement de l’électron dans le cadre de lamécanique classique. On choisit pour référentiel celui du proton lié à un repèrecartésien.1.a. Pourquoi peut-on supposer que le référentiel du proton est galiléen ?1.b. Quelles forces s’exercent sur l’électron ? Laquelle de ces forces est prédomi-nante ?1.c. Exprimer le vecteur accélération de l’électron en fonction de la norme v de savitesse et du rayon r de son orbite.1.d. En appliquant la deuxième loi de Newton à l’électron, exprimer v2 en fonctionde r, de la vitesse de la lumière dans le vide et du rayon classique de l’électronvoir exercice facultatif.1.e. Exprimer la période T du mouvement circulaire de l’électron en fonction dec, r et R.1.f. Exprimer l’énergie mécanique E de l’électron en fonction de r, R, c et m.2. Prise en compte de l’électrodynamiqueL’électrodynamique classique permet de montrer qu’une charge ne se déplaçantpas en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen,rayonne de l’énergie. La puissance rayonnée par un électron ayant une accélérationde norme a est donnée par la formule SiE de Larmor 1857–1942 :PE =e26πε0c3a2.2.a. Expliquer en quoi ce rayonnement a un effet sur l’orbite de l’électron etdonner l’expression du vecteur accélération de l’électron.2.b. On suppose à présent que l’accélération est toujours donnée par : a = v2/r.Exprimer la puissance rayonnée par l’électron.2.c. À l’aide d’un raisonnement énergétique, montrer que la distance r séparantl’électron du proton vérifie : ˙r = K/r2 avec K une constante positive quis’exprime en fonction de R et c. Donner l’expression de la constante K.2.d. En supposant qu’à l’instant initial l’électron est à une distance r0 du proton,exprimer la durée τ de la chute de l’électron sur le proton. Faire l’applicationnumérique en prenant pour r0 l’ordre de grandeur déterminé à l’exerciceprécédent.2.e. Comparer ce temps de chute à la période T0 de révolution de l’électron autourdu proton si son mouvement était circulaire et de rayon r0.3. Rayonnement d’un corps3.a. Dans le cadre de la mécanique classique une masse de charge nulle en rotationrayonne-t-elle ?3.b. Qu’en est-il dans le cadre de la relativité générale ? Comment se nomme cetteforme de rayonnement ?3.c. En relativité générale on peut montrer qu’un système de deux corps demasse m1 et m2 tournant l’un autour de l’autre émet un rayonnement de— 11/15 —
Page 12 : puissance :PG = 32G5c2 µ2D4ω6,avec µ =m1m2m1+m2 la masse réduite du système, D la distance entre les deuxcorps et ω la fréquence angulaire du système. Si le rayonnement de natureélectromagnétique est négligé, déterminer la puissance rayonnée par un atomed’hydrogène puis exprimer la durée nécessaire pour que l’électron et le protonentrent en collision.Exercice 6 — Modèle de BohrEn 1913, Niels Bohr propose un nouveau modèle d’atome permettant de concilier lespectre d’émission discret d’un atome avec la structure lacunaire de l’atome mise enévidence par Rutherford deux ans plus tôt. Dans ce nouveau modèle, les électrons sontsur des orbites circulaires dont le rayon ne peut prendre que certaines valeurs précisessouvent appelées « couches électroniques » contrairement au modèle planétaire deRutherford. Par ailleurs, il reprend l’idée d’Einstein, en supposant qu’un électronqui change d’orbite pour se rapprocher du noyau émet de la lumière de fréquence ν sousla forme d’un quantum d’énergie hν.Dans cet exercice, on se propose de reprendre une partie de son raisonnement.1. Montrer que la dimension de la constante de Planck est celle d’un momentcinétique :»LO = »r »p .2. Pour justifier son modèle, Bohr suppose que le moment cinétique de l’électron estquantifié, c’est-à-dire que celui-ci ne peut prendre que certaines valeurs dépendantesd’un entier n strictement positifLn = mrnvn = nℏ2.2où rn désigne le rayon de l’orbite en question et vn la vitesse de l’électron sur cetteorbite.2.a. Justifier que la norme du moment cinétique vaut LO = mrv et déduire de saquantification les expressions de vn et rn en fonction de n.2.b. Déterminer v1 et r1, les expressions de vn et rn pour n = 1. Exprimer vn etrn en fonction de v1, r1 et n. Faire les applications numériques pour r1 et v1.Commenter.2.c. En déduire l’expression de l’énergie mécanique En en fonction de E1 et n.Donner l’expression et la valeur numérique de E1. Commenter.3. En quoi ce modèle n’est pas cohérent avec la description d’un système quantiqueà l’aide d’une fonction d’onde ?— 12/15 —
Page 13 : 3Relations d’HeisenbergExercice — Moyenne, ecart-type et variance d’une grandeur1. Variable aléatoire discrète On considère une grandeur g note, salaire, nombred’habitants, etc. aléatoire. Celle-ci est supposée discrète : g ne peut prendre queN valeurs précises notées gi, avec i 1, N.1.a. Exprimer la valeur moyenne de g en fonction des gi. Cette valeur moyennesera notée ⟨g⟩.On veut à présent caractériser la dispersion des gi autour de la valeur moyenne.1.b. Montrer que la moyenne des écarts à la moyenne1NPigi ⟨g⟩ n’est paspertinente pour caractériser cette dispersion.1.c. La variance V = ⟨g ⟨g⟩2⟩est-elle directement pertinente pour caractérisercette dispersion ?1.d. La grandeur réellement pertinente est l’écart-type à la moyenneg =q⟨g ⟨g⟩2⟩.3.1Montrer queg2 = ⟨g ⟨g⟩2⟩= ⟨g2⟩⟨g⟩2.3.22. Variable aléatoire continueOn considère à présent une variable aléatoire continue y c’est-à-dire une variabledont les valeurs sont réparties sur un intervalle énergie, position, etc.. La répar-tition de cette variable aléatoire est caractérisée par une fonction ρy nommée« distribution de probabilité » de la variable y.Une distribution probabilité. très courante est la loi normale ou distribution deGauss ou gaussienne d’une variable aléatoire y Rρy =1σ2π exp y mσ2!23.3où m = ⟨y⟩est la valeur moyenne/espérance de y moment d’ordre 1 et σl’écart-type carré du moment centré d’ordre 2.— 13/15 —
Page 14 : 2.a. Dans le cas de la loi normale que vaut l’intégrale ci-dessous ?ˆ ρy dy2.b. Représenter graphiquement la distribution de Gauss. Indiquer m et approxi-mativement σ.2.c. On considère une aiguille posée horizontalement et capable de tourner. On re-père la position de cette aiguille grâce à un angle θ. Représenter la distributionde probabilité de θ si toutes les directions sont équiprobables.2.d. Quelle grandeur joue le rôle de distribution de probabilité en physique quan-tique ? À quelle variable aléatoire est-elle associée ?2.e. En déduire comment calculer la position moyenne ⟨x⟩et l’écart-type de laposition d’une particule dont l’état est décrit par la fonction d’onde Ψ.Exercice 7 — Particule dans un puits de potentiel infiniOn considère une particule de masse m enfermée dans un puits de potentiel de profondeurinfinie et de largeur L. L’objectif est d’utiliser les inégalités de Heisenberg pour montrerque l’énergie cinétique E minimale de la particule n’est pas nulle.1. Énergie minimale1.a. À partir de la relation de Heisenberg spatiale, déterminer une inégalitévérifiée par p et L.1.b. Exprimer ⟨E⟩en fonction de ⟨p2⟩.1.c. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, en déduire l’énergie cinétiqueminimale de la particule.1.d. Comparer ce résultat avec le cas d’une boule de billard dans une boite.2. Calculer x en sachant que les états stationnaires d’une particule dans un puitsinfini de potentiel sontψn =s2L sinnπxL,3.4avec n N.3. L’inégalité de Heisenberg serait-elle vérifiée pour une particule dont la probabilitéde présence serait uniforme sur 0; L ?Exercice 8 — Électron dans un piège harmoniqueOn considère un électron de masse m et de quantité de mouvement p piégé dans unpotentiel de type oscillateur harmonique. Son énergie potentielle est alors EP = 12mω2x2,avec ω = 6 × 108 rad · s1 la pulsation propre de l’oscillateur.1. Écrire l’énergie mécanique de l’électron en fonction de m, x, p et ω.2. Pour un piège harmonique la position moyenne et la quantité de mouvementmoyenne sont nulles. Exprimer ⟨p2⟩en fonction de ⟨x2⟩.— 14/15 —
Page 15 : 3. Montrer que l’énergie mécanique de l’électron est bornée inférieurement.Exercice 9 — Électron dans l’atome d’hydrogèneOn considère un atome d’hydrogène de taille caractéristique a.1. Donner l’expression générale de l’énergie mécanique de l’électron.2. Trouver une borne inférieure à l’énergie de l’électron en fonction de constantesfondamentales et a. Celle-ci sera notée E0.3. Déterminer a0 la valeur minimale de a qui minimise E0.4. Comparer a0 au rayon r1 déterminé dans le modèle de Bohr.5. Expliquer en quoi les inégalités de Heisenberg justifient la stabilité de la matière.6. En quoi le modèle de Bohr est-il en contradiction avec les inégalités de Heisenberg ?— 15/15 —
